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=第一章 超运算=
  在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为10<sup>10</sup>或古戈尔——10<sup>100</sup>已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。
<br>
  本章我们将认识一种更高级的运算——连幂，它可以使用两个只有两位的数字很容易地超过宇宙的原子数、普朗克体积数，乃至庞加莱回归时间和所有原子的排列组合数；我们还将探究加法、乘法、乘方、连幂内的规律，并总结出超运算和上箭号表示法。届时，葛立恒数将不再遥不可及。
<br>
==1.1 连幂运算==
  连幂是比乘方更高级的运算，接下来我们将深入学习。
===1.1.1 乘方运算律===
  我们学过加法、乘法的交换律和结合律，和乘法的分配律。幂，即乘方运算，也有自己的运算律。<br>
  首先，幂运算没有交换律和结合律：<br>
  大多数情况下，<br>    <math>a^b\neq b^a</math>，<br>    <math>(a^b)^c\neq a^{(b^c)}</math>。
  其次，幂的“分配律”有二种：<br>  <math>a^{b+c}=a^b\times a^c</math>，此时指数上的“<math>+</math>”移下来后会变成“<math>\times</math>”；<br>  
<math>a^{b\times c}=(a^b)^c</math>，即“<math>a</math>的<math>b</math>次方的幂的<math>c</math>次方”。它们分别被称为'''同底数幂法则'''和'''幂的乘方法则'''。<br>
  让我们举几个例子看看：<br>
  幂没有交换律：<br>
::  <math>3^2=9,2^3=8,9\neq8.</math><br>
  幂没有结合律：<br>
::  <math>\begin{align}&(2^3)^2=(8)^2=64,\\&2^{(3^2)}=2^9=512,\\&64\neq512.\end{align}</math><br>
  同底数幂法则：
:<math>\quad\begin{align}&\text{首先,以下等式是显然的:}\\&\;\;\begin{align}2^6&=2^{3+3}=2^{2+2+2}\\&=2\times2\times2\times2\times2\times2\;\;(6\text{个}2)\\&=(2\times2\times2)\times(2\times2\times2)\\&=2^3\times2^3\\&=(2\times2)\times(2\times2)\times(2\times2)\\&=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}\\&\text{于是,我们可以得知}\\&\;\;2^{3+3}=2^3\times2^3,\\&\;\;2^{2+2+2}=2^2\times2^2\times2^2.\end{align}</math><br>
  根据同底数幂法则，有
:<math>\;\quad\begin{align}2^{12}&=2^{4+4+4}=2^{3+3+3+3}=2^{4\times3}=2^{3\times4}\\&=2^4\times2^4\times2^4=(2^4)^3\\&=2^3\times2^3\times2^3\times2^3=(2^3)^4,\end{align}</math>
  即<math>(2^4)^3=(2^3)^4.</math>
<br>
  这便是幂的乘方法则。<br>
{| class="wikitable"
|+ 探究与发现 左结合与右结合
|-
|   我们现在学过的运算有加、减、乘、除法和乘方运算，它们有左结合的，有右结合的，也有双向结合的。那么，这是什么意思呢？
  左结合，也就是计算时要且只能从左往右计算。例如减法和除法：<math>a-b-c=(a-b)-c\neq a-(b-c)</math>和<math>a\div b\div c=(a\div b)\div c\neq a\div(b\div c)</math>。
  右结合，则是只能从右往左计算。乘方运算，和我们将会学习的各级高德纳箭号表示法都是右结合：<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\neq(a^b)^c=a^{b\times c}</math>，<math>a\uparrow^db\uparrow^dc=a\uparrow^d(b\uparrow^dc)\neq (a\uparrow^db)\uparrow^dc</math>。
  双向结合即从两头计算都可以得到相同结果，即符合结合律。加法和乘法就是双向结合的：<math>a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)</math>，<math>a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)</math>。
|}
===1.1.2 指数塔===
  在上一课中，我们知道了幂没有结合律，其式子中有一个式子（解析式）<math>a^{b^c}</math>。对于这个式子，我们发现它的指数是一个乘方算式<math>b^c</math>；像这样，一个乘方算式，其指数也是一个乘方算式，我们称这个乘方算式为'''指数塔'''<sup>[定义不可靠]</sup>。例如，<math>3^{4^5}</math>，<math>6^{2^{3^2}}</math>，<math>5^{5^{5^{5^5}}}</math>都是指数塔。<br>
  需要注意的是，<math>a^{b^c}</math>应读作“a的b的c次幂次幂”；<math>a^{b^{c^d}}</math>读作“a的b的c的d次幂次幂次幂”，而不是“a的b次幂的c次幂的d次幂”，后者指<math>((a^b)^c)^d</math>。<br>
  一个乘方算式，若其指数上没有指数塔但有乘方算式，则其是一个三层指数塔。如<math>3^{3^3}</math>，<math>3^{2^{5+5}}</math>，<math>3^{3^2\times3}</math>都是三层指数塔。<math>2^9</math>不是三层指数塔，但<math>2^{3^2}</math>是三层指数塔。一个n层指数塔的'''层数'''或'''高度'''是n。<br>
  一个乘方算式，若其指数上有指数塔，其层数相当于其指数上最高的指数塔（高度最大的指数塔）的层数加一。如<math>3^{2^{3^{2^4}}}</math>的层数为5，<math>2^{2^{(2^3)^2\times2}\times3+1}</math>是四层指数塔。由下向上，指数塔可分为第1、2……层。如 <math>2^{3^2 + 2^3}</math> 的第二层是 <math>3^2+2^3</math>，第三层是2和3（注意不是2+3等）。
===1.1.3 连幂===
  连幂运算是乘方的迭代，又称迭代幂次。<br>
  连幂运算有多种写法。常见的写法有三种，分别是<math>{}^ba</math>，<math>a\upuparrows b</math>（*也作<math>a\uparrow^2b</math>），<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^^<math>b</math>。第一种写法是仿照<math>a^b</math>的形式，第三种是<math>a^b</math>的另一种写法——<math>{\color{white}b}\!\!a</math>^<math>b</math>的拓展；第二种则是高德纳箭号表示法，我们将在以后学习。在本文中，我们使用第二种写法。<br>
  我们知道，<math>a\times b</math>表示b个a相加，<math>a^b</math>表示b个a相乘。经过简单的推理，你应该知道<math>a\upuparrows b</math>表示b个a相“乘方”。如何相“乘方”呢？<math>a\uparrow\uparrow b</math>表示a的b层指数塔，即\(a\upuparrows b=\underbrace{a^{a^{\ldotp\cdot^{\ldotp a}}}}_{b\text{个}a}\)。需要注意的是，指数塔是右结合的，应从右上往左下计算。
\(\bbox[blue,3px]{\color{white}\text{习题1.1}}\)<br>
\(\bbox[5px,border:3px solid blue]{\begin{array}{l}\text{复习巩固}\\1. \text{运用乘方运算律计算下列各式.}\\(1)\,2^9;\quad(2)\,3^4;\quad(3)\,5^3.\\2. \text{说出下列各指数塔的层数.}\\(1)\,2^{3^4+2+1};\quad(2)\,3^{(2^2)^3\times2};\\(3)\,3^{(3^2)^{4^2+(2^2)^{3+2^2}}}.\\3. \text{将下列含指数塔的式子转化成不含指数塔、只含连幂算式的式子.}\\(1)\,3^{4^{4^{4^4}}};\quad(2)\,4^{2^2\times2}+4^{4^4};\\(3)\,(3\upuparrows3)^{(3^{3^3})^{3^{3^3}}}.\\4. \text{将下列连幂算式展开成指数塔（或乘方算式）的形式.}\\(1)\,a\upuparrows5;\quad(2)\,7\upuparrows3;\quad(3)\,5\upuparrows2\end{array}}\)
==1.2 高德纳上箭号表示法==
  在上一节，我们学习了连幂。那么连幂的迭代又是什么运算呢？再迭代呢？我们不可能给每一种运算都另起一个新名字，回想我们小学时所学的数量单位：个、十、百、千、……，以及扩展的“京”“垓”等等，直到“极”，我们距离古戈尔还远。但当有了科学计数法，古戈尔就可以简单地写成<math>10^{100}</math>，而不是1000…0或一万亿亿…亿。在这过程中，我们把“不断创造新单位”或“在末尾加一个零”变成了“在10的指数上增加一”，十是<math>10^1</math>，百是<math>10^2</math>，千是<math>10^3</math>……。类比一下，我们现在应该怎么做呢？是的，这正是高德纳箭号表示法所做的。
  高德纳箭号表示法，又称上箭号表示法。其一般写作“<math>a\underbrace{{\uparrow\uparrow}\cdots\uparrow}_nb</math>”或“<math>a\uparrow^nb</math>”，如<math>2\uparrow^24</math>（<math>2\uparrow\uparrow4</math>），<math>3\uparrow\uparrow\uparrow3</math>（<math>3\uparrow^33</math>）都是高德纳箭号表示法的表达式。高德纳箭号表示法中，乘方运算<math>a^b</math>写作<math>a\uparrow b</math>，连幂写作<math>a\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^2b</math>。那么，连幂的迭代，暂且称为迭代连幂，显然应表示为<math>a\uparrow\uparrow\uparrow b</math>或<math>a\uparrow^3b</math>，并且有<math>a\uparrow^2a\uparrow^2\dots\uparrow^2 a\;\;(b\text{个}a)</math><math>=a\uparrow^3b</math>。不同数量的高德纳箭号的计算优先级相同，且都是右结合，如<math>3\uparrow^23\uparrow^23=3\uparrow^2(3\uparrow^23)</math>，所以实际上严谨一点应写作<math>a\uparrow^2(a\uparrow^2(\cdots(a\uparrow^2a)\cdots))\;\;(b\text{个}a,(b{-}1)\text{对 圆括号},(b{-}1)\text{个“}\uparrow^2\text{”})=a\uparrow^3b</math>。显然还有“<math>\uparrow^4</math>”，“<math>\uparrow^5</math>”，“<math>\uparrow^6</math>”等等，以下是完整的定义：<br>
\(\begin{array}{c}\begin{array}{l}1.a\uparrow^1b=a\uparrow b.\\2.a\uparrow^cb=\begin{cases}a^b&,c=1\\a&,b=1\\a\uparrow^{c-1}(a\uparrow^c(b-1))&,c>1,b>1\end{cases}\\
3.\text{如果以上均不符合,那么}a\uparrow^cb\text{的值不存在.}\end{array}\\\small\text{高德纳箭号表示法的定义}\end{array}\)<br>
  '''例1''' 展开\(2\uparrow\uparrow3\)成指数塔。<br>
  \(\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3&=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow\uparrow2)
\\&=2\uparrow\uparrow(2^2)
\\&=2\uparrow\uparrow4
\\&=2\uparrow(2\uparrow\uparrow3)
\\&=2^{2\uparrow\uparrow2}
\\&=2^{2\uparrow(2\uparrow\uparrow2)}
\\&=2^{2^{2^2}}\end{array}\)<br>
  '''例2''' \(2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2\)相当于\(2\)的（\(2\uparrow^326\)）层指数塔，或（\(27\)）个\(2\)相连幂。<br>
  \(\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2&=2\uparrow^3(3\uparrow^22)
\\&=2\uparrow^3(3^3)
\\&=2\uparrow^327
\\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow^326)\end{array}\)<br>
  使用高德纳箭号表示法，我们可以很容易地超越宇宙，乃至超越古戈尔、超越古戈尔普勒克斯等数。<br>
——未完——<br>
\(草稿部分{
ω^^ω=ε(0)
ω^^ω>2=(ω^^ω)^^ω=ε(1)
ω^^ω>3=((ω^^ω)^^ω)^^ω=ε(2)
ω^^ω>ω=ε(ω)
ω^^ω>(ω+1)=ε(ω+1)
ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(0))
ω^^ω>ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(ε(0)))
ω^^(ω+1)=ζ(0)
(ω^^(ω+1))^^ω=ε(ζ(0)+1)
(ω^^(ω+1))^^ω>ω=ε(ζ(0)+ω)
(ω^^(ω+1))^^ω>(ω^^(ω+1))^^ω =ε(ε(ζ(0)+1))
(ω^^(ω+1))^^(ω+1)=ζ(1)
ω^^(ω+1)>ω=ζ(ω)
ω^^(ω+1)>ω^^(ω+1)>ω^^(ω+1)=ζ(ζ(ζ(0)))
ω^^(ω+2)=η(0)
ω^^(ω2)=φω(0)
ω^^(ω^^ω)=φφ1(0)(0)
ω^^^ω=Γ(0)
————————————
ω^^ω>>2=ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(0))
ω^^ω>>ω=ζ(0)
(ω^^ω>>ω)^^ω=ε(ζ(0)+1)
(ω^^ω>>ω)^^ω>ω=ε(ζ(0)+ω)
(ω^^ω>>ω)^^ω>(ω^^ω>>ω)^^ω =ε(ε(ζ(0)+1))
(ω^^ω>>ω)^^ω>>ω=ζ(1)
((ω^^ω>>ω)^^ω>>ω)^^ω>>ω=ζ(2)
ω^^ω>>ω>ω=ζ(ω)
(ω^^ω>>ω>ω)^^ω=ε(ζ(ω)+1)
ω^^ω>>ω>(ω+1)=(ω^^ω>>ω>ω)^^ω>>ω =ζ(ω+1)
ω^^ω>>(ω+1)=(ω^^ω>>ω)>ω^^ω=ζ(ε(0))
(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω=ζ(ε(0)+1)
(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω>ω=ζ(ε(0)+ω)
(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1) =(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω >(ω^^ω>>(ω+1))^^ω=ζ(ε(ζ(ε(0))+1))
((ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω =ζ(ε(ζ(ε(0))+1)+1)
((ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1) =ζ(ε(ζ(ε(ζ(ε(0))+1))+1))
ω^^ω>>(ω+1)>ω=η(0)
(ω^^ω>>(ω+1)>ω)^^ω>>ω}\)
[[分类:入门]]