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投影序数（projection）是 test_alpha0 创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。

=== 定义 ===

==== 第一个 2-投影序数 ====
我们定义 1-投影序数（1-proj.）就是传统的非递归序数。

2-proj. 是一系列很大的非递归序数。它们被认为是 <math>a<_{\Sigma_1}Ord</math>。第 n 个<math>2\text{-proj.}</math>被写作 <math>a_n</math>。现在让我们把 <math>a</math> 放进 [[序数坍缩函数|OCF]] 里：

* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
* <math>\psi_a(X+1)=\psi_a(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_a(X\sim a)=\beta\rightarrow\psi(X\sim\beta) \text{不动点}</math>，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

到这里，<math>\psi_a</math> 和 <math>\psi_{\Omega_2}</math> 还没有区别，区别在下面这一条：

如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则 <math>\psi_a(X\sim\beta)=\bigcup_{\gamma<\beta}\psi_a(X\sim\gamma)</math>，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a 的下一个 Ω 序数，即 <math>\Omega_{a+1}</math>，也是一个 1-proj.！这意味着，<math>\psi_a(\Omega_{a+1})\neq\psi_a(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\cdots))))</math>，而是等于 <math>\sup\{\psi_a(a),\psi_a(a^a),\psi_a(\varepsilon_{a+1}),\psi_a(\zeta_{a+1}),\psi_a(\Gamma_{a+1}),\psi_a(BO(a+1)),\cdots\}</math>。通俗的说，就是需要穷尽 a 的递归运算。投影序数能挣脱 <math>\Omega_2</math> 的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义 <math>\Omega_{a+1}</math> 之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进 OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。

==== 更多的 2-投影序数 ====
我们定义 <math>\psi_{a_n}</math> 如下：

* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
* <math>\psi_{a_{n+1}}(0)=\Omega_{a_n+1}</math>
* <math>\psi_{a_n}(X+1)=\psi_{a_n}(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_{a_n}(X\sim a_m)=\psi_{a_n}(X\sim \beta\rightarrow\psi_{a_m}(X\sim\beta)\text{不动点})</math>，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数，m>n
* 如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则<math>\psi_{a_n}(X\sim\beta)=\bigcup_{\gamma<\beta}\psi_{a_n}(X\sim\gamma)</math>,其中~是任意运算或者是任意递归函数

它们的作用可以理解为，当你在 <math>\psi_a</math> 内部需要用到 <math>\Omega_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots</math> 这些东西的时候，需要 <math>\psi_{a_2}</math> 来表示它们。

==== n-投影序数 ====
定义 p_m 是 <math>m\text{th }n+1\text{-proj.}</math>，q 是 <math>\text{1st }n\text{-proj.}</math>，P_n 是 <math>n\text{-proj.}</math> 的集合：

<nowiki>\(\begin{align} 
&\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\ 
&\psi_{p_{m + 1}}(0) =n-proj. ~aft~ p_m \tag{2}\\ 
&\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\ 
&\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\ 
&\psi_{p_m}(\#\sim p_m) = \beta \rightarrow \psi_{p_m}(\#\sim \beta) \quad \text{Fixed Point} \tag{5} 
\end{align}\)</nowiki>

以上规则便统一定义了 <math>n\text{-proj.}</math>。

通俗的说，<math>(n+1)\text{-proj.}</math> 之于 <math>n\text{-proj.}</math> 的关系就如同 <math>a_n</math> 之于 <math>\Omega_n</math>，高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。

=== 扩展 ===
投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影。这个拓展可以与[[BMS]]相抗衡。

==== 向上投影 ====
考虑一个很大的序数H，它可以折叠“投影点”：

<math>\psi_H(H)=\Omega</math>

<math>\psi_H(H\times2)=\Omega_2</math>

<math>\psi_H(H^2)=\alpha</math>

<math>\psi_H(H^2+H)=\Omega_{\alpha+1}</math>

<math>\psi_H(H^2\times2)=\alpha_2</math>

<math>\psi_H(H^3)=\beta</math>

<math>\psi_H(H^\omega)=\omega-\text{Projection}</math>

我们观察到，对于一个 <math>\psi_H(X\sim H)</math>，它可以“投影”<math>\psi_H(X\sim (H\times 2))</math> 之前的序数而不补层。比如说 <math>\psi_H(H^2)</math>（<math>\alpha</math>），可以“投影”<math>\psi_H(H^2\times2)</math>（<math>\alpha_2</math>）以前的序数，例如 <math>\psi_H(H\times(H+1))=\psi_H(H^2+H))</math>（<math>\Omega_{\alpha+1}</math>）。

下面我们考虑一个 (1,0)-Proj. <math>\psi_H(H^H)</math>，按照先前的规律，它可以“投影” <math>\psi_H(H^{H\times 2})</math>（(2,0)-Proj.）之前的序数而不补层。为了方便接下来的讲解，我们引入如下记号：

(a1,a2,...,an)-Proj.=<math>\psi_H(H^{H^{n-1}\times a_1+H^{n-2}\times a_2+\dots+H\times a_{n-1}+a_n})</math>，例如 (1,1,4,5,1,4)-Proj.=<math>\psi(H^{H^5+H^4+H^3\times4+H^2\times5+H+4})</math>

S=(1,0)-Proj.，σ 表示升 1 阶投影（如 σS=(1,1)-Proj.），θ 表示升 (1,0) 阶投影（如 θS=(2,0)-Proj.）

一开始，<math>\psi_S</math>函数与OCF表现得无异，有<math>\psi_S(S)=\varepsilon_0</math>，<math>\psi_S(S_\omega)=\text{BO}</math>。我们注意到<math>\psi_H(H^2)</math>投影<math>\psi_H(H\times(H+1))</math>，于是便可以让S投影<math>\psi_H(H^{H+1})</math>，也就是σS,因此，<math>\psi_S(\sigma S)=\Omega</math>。

接下来是Ω的递归运算：

<math>\psi_S(\sigma S+1)=\Omega\times\omega</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_S(\sigma S))=\Omega^2</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_S(\sigma S+\psi_S(\sigma S)))=\Omega^\Omega</math>

<math>\psi_S(\sigma S+S)=\varepsilon_{\Omega+1}</math>

这看起来并不强大，但是我们可以引入<math>S_2</math>让它变强。<math>\psi_{S_2}(\sigma S)</math>表示S递归运算的上确界，而S的递归运算又会被折叠为Ω的递归运算，因此<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S))=\Omega_2</math>

于是，<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S)\times2)=\Omega_3</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+1))=\Omega_\omega</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+S))=\rm{OFP}</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\varepsilon_{S+1}))=\psi_I(\varepsilon_{I+1})</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S)))=I</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S)+1))=I_\omega</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S)\times2))=I(1,0)</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+1)))=I(\omega,0)</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+S)+\psi_{S_2}(\sigma S)))=I(1,0,0)</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S))))=M=\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+1}^{\Omega_{\alpha+1}})</math>

<math>\psi_S(\sigma S+S_2)=\psi_\alpha(\varepsilon_{\Omega_{\alpha+1}+1})=\text{psd.}\Pi_\omega</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_3}(\sigma S))=\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+2})</math>

<math>\psi_S(\sigma S+\psi_{S_3}(\sigma S+1))=\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+\omega})</math>

……

这样下去我们将会得到<math>\psi_S(\sigma S+S_\omega)=\psi_\alpha(\alpha_\omega)</math>，S只需稍微发力，便能击穿整个2-投影层级。于是我们有<math>\psi_S(\sigma S\times2)=\alpha</math>。

类似的，我们还可以用<math>\psi_S(\sigma S\times2+\dots)</math>来表示3-投影层级，直到<math>\psi_S(\sigma S\times3)=\beta</math>，最终得到<math>\psi_S(\sigma S\times\omega)=\omega-\text{Projection}</math>。这可以一直向上延伸到<math>\psi_S(\varepsilon_{\sigma S+1})</math>。

因为<math>\psi_S</math>函数不能投影S本身，所以<math>\psi_S(S_{\sigma S+1})</math>会直接补层展开为<math>\psi_S(\alpha \rightarrow \psi_{S_{\sigma S+1}}(\alpha)\rm{fp})</math>。在这之后，因为S能够投影<math>\sigma S_2</math>，所以<math>\psi_S(\sigma S_2)</math>会折叠<math>\psi_S(f(\sigma S))</math>(类比<math>\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+2})</math>)。于是就可以将刚才的路重走一遍：

<math>\psi_S(\sigma S_2+\sigma S)</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2+\psi_{S_{\sigma S+1}}(S_{\sigma S+1}))</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2+\psi_{S_{\sigma S+1}}(\sigma S_2))</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2+S_{\sigma S+1})</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2+S_{\sigma S+\omega})</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2\times2)</math>，这类似于一种更强的2-投影

<math>\psi_S(\sigma S_2\times\omega)</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2\times\sigma S)</math>

<math>\psi_S(\sigma S_2^2)</math>

<math>\psi_S(\varepsilon_{\sigma S_2+1})</math>

<math>\psi_S(\sigma S_3)</math>

这样走下去，我们将得到<math>\psi_S(\sigma S_\omega)</math>，这已经是四行BMS中的<math>(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,2)</math>。

回忆一下在2-投影中走过的路，<math>\alpha_\omega</math>之后，我们引入了3-投影。在这里，我们同样可以引入<math>\sigma\sigma S</math>（(1,2)-投影）来帮助我们走得更远。类比3-投影折叠2-投影，我们有<math>\psi_{\sigma\sigma S}(\sigma S_{\sigma\sigma S+1}\times\omega)=\sigma S_\omega</math>，而<math>\psi_{\sigma\sigma S}(\sigma S_{\sigma\sigma S+1}^2)</math>将会是(1,1)-投影的(1,1)-投影点。这样走下去，我们还会有<math>\psi_{\sigma\sigma S}(\sigma S_{\sigma\sigma S+\omega})</math>、<math>\psi_{\sigma\sigma S}(\sigma\sigma S_\omega)</math>甚至是<math>\psi_{\sigma\sigma S}(\psi_{\theta S}(\sigma\theta S\times\omega))</math>等等。

终结这一切的是<math>\psi_S(\sigma\sigma S)</math>，因为<math>\sigma\sigma S</math>是<math>\psi_H(H^{H+2})</math>，可以被S投影，所以这是一切<math>\psi(\psi_{\sigma\sigma S}(\alpha))</math>的上确界。于是我们可以继续得到：

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+S)</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma S))</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+\psi_{S_2}(\psi_{\sigma\sigma S}(\sigma S_{\sigma\sigma S+1}\times\omega)))</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+\psi_{S_2}(\sigma\sigma S))</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+S_2)</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+\sigma S)</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+\psi_{S_{\sigma S+1}}(\sigma\sigma S))</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+S_{\sigma S+1})</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S+S_{\sigma S+\omega})</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S\times2)</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S^2)</math>

<math>\psi_S(S_{\sigma\sigma S+1})</math>

<math>\psi_S(\sigma S_{\sigma\sigma S+1})</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S_2)</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma S_\omega)</math>

<math>\psi_S(\psi_{\sigma\sigma\sigma S}(\sigma\sigma S_{\sigma\sigma\sigma S+1}^2))</math>

<math>\psi_S(\psi_{\sigma\sigma\sigma S}(\sigma\sigma\sigma S_\omega))</math>

<math>\psi_S(\sigma\sigma\sigma S)</math>

<math>\psi_S(\sigma^\omega S)</math>

……

至此，向上投影已经用出了全部的(1,n)-投影，S的层级似乎已经达到了极限，于是我们继续引入(2,0)-投影<math>\theta S</math>。类似于之前的(1,0)-投影，有<math>\psi_{\theta S}(\sigma\theta S\times\omega)=\sigma^\omega S</math>。(2,0)-投影折叠到(1,0)-投影，(3,0)-投影折叠到(2,0)-投影，最后的<math>\theta^\omega S</math>，已经达到了<math>(0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)</math>。

想要打败QSS，仅仅使用(n,0)-投影是不够的。引入更强的(a,b,c,d,....)-投影，才能够打败QSS。

[WIP:(1,0,0)-投影的行为]

=== 在 OCF 中的行为 ===
''TO DO: 在 OCF 中的行为''

=== 枚举和强度分析 ===
''主词条：[[投影 VS 反射稳定|投影序数 VS 反射稳定]]，[[非递归BMS分析|非递归 BMS 分析]]，[[投影序数 VS 方括号稳定]]''

对投影序数的强度分析是极端重要的。因为投影序数类似递归记号的规则必须通过扽西才能被人理解。本词条仅列出关键节点。
{| class="wikitable"
!投影序数
!反射稳定
![[非递归BMS|非递归 BMS]]
|-
|<math>\psi_a(0)</math>
|<math>\Omega</math>
|<math>(1,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a)</math>
|<math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>
|<math>(1,1)(2,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1})</math>
|<math>\Omega_2</math>
|<math>(1,1,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}+a)</math>
|<math>\varepsilon_{\Omega_2+1}</math>
|<math>(1,1,1)(2,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}2)</math>
|<math>\Omega_3</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}^2)</math>
|<math>2~1-2</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}^{\Omega_{a+1}})</math>
|<math>2-2</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a_2)</math>
|<math>\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a_2+1})</math>
|<math>\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a_\omega)</math>
|<math>\omega-\pi-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{a_\omega+1})</math>
|<math>\omega-\pi-\Pi_1</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(a_{b+1}^\omega))</math>
|<math>\lambda\alpha.(psd.\Pi_0[\omega])-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(\varepsilon_{a_{b+1}+1}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(\Omega_{a_{b+1}+1}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(a_{b+2}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(b_\omega))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\omega-proj.)</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>a</math>
|
|<math>(1,1,1,1)</math>
|-
|<math>\Omega_{a+1}</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
|<math>a_2</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,1,1)</math>
|-
|<math>b</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>b_2</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)</math>
|-
|<math>c</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>\omega-projection</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3)</math>
|}
{{默认排序:非递归记号}}
[[分类:记号]]