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以下是 Gödel 关于完备性定理的证明。

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众所周知，怀特海和罗素构建逻辑和数学的方法是，将某些显而易见的命题置于公理之上，并根据一些精确表述的推理原理，以纯粹形式化的方式（即不再诉诸符号含义）从中推导出逻辑和数学命题。这种思路自然会立即引发一个问题：置于顶端的公理和推理原理体系是否完备，即是否真的足以推导出所有逻辑数学命题？或者，是否可以设想出一些无法在现有体系中推导出的真命题（根据其他原理，这些命题或许是可证明的）。在逻辑命题公式领域，这个问题已得到肯定的解决，即已经证明，所有正确的命题公式实际上都源于《数学原理》中给出的公理。这里，我们将对更广泛的公式进行同样的处理，即“狭义函数演算”的公式，如下所示：

'''定理 I''' 每一个普遍有效的公式都是可证明的。

我们基于以下公理系统：

未定义基本概念：<math>v, \neg, (x)</math>。[由此，<math>\&, \to, \infty, (Ex)</math> 可以用众所周知的方式定义。]

正式公理：

1. <math>X \vee X \to X</math>

2. <math>X \to X \vee Y</math>

3. <math>X \vee Y \to Y \vee X</math>

4. <math>(X \to Y) \to [Z \vee X \to Z \vee Y]</math>

5. <math>(x)F(x) \to F'(y)</math>

6. <math>(x)[X \vee F(x)] \to X \vee (x)F(x)</math>。

推理规则：

1. 推理方案：<math>B</math> 可由 <math>A</math> 和 <math>A \to B</math> 推断出来。
2. 命题变量和函数变量的代换规则。
3. 从 <math>A(x)</math> 可推断 <math>(x)A(x)</math>。
4. 单个变量（自由或有界）可以用任何其他变量替换，只要替换后的变量不与同名变量的定义域重叠即可。

为了便于理解，有必要引入一些缩写符号。

<math>(\mathcal{E}), (Q), (R)</math> 等表示以某种方式构造的前缀，即形式为以下的有限字符序列: <math>(x)(Ey), (y)(x)(Ez)(u)</math> 等。

小写德语字母 <math>\mathfrak{r}, \mathfrak{y}, \mathfrak{u}, \mathfrak{v}</math> 等表示由单个变量组成的 <math>n</math> 元组，即形式为以下的字符序列: <math>xyz, x_2x_1x_2x_3</math> 等，其中同一个变量可以出现多次。符号 <math>(x), (Ex)</math> 等应作相应理解。如果一个变量在 <math>\mathfrak{r}</math> 中出现多次，那么它自然应该被认为在 <math>(\mathfrak{r}), (E\mathfrak{r})</math> 中只出现一次。

此外，我们需要一些辅助定理，这里总结如下。由于有些证明已知，有些证明很容易补充，因此这里就不给出证明了:

1. 对于每个 <math>n</math> 元组 <math>\mathfrak{r}</math>，以下证明是可证的:

(a) <math>(\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \rightarrow (E\mathfrak{r})F(\mathfrak{r})</math>

(b) <math>(\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \& (E\mathfrak{r})G(\mathfrak{r}) \rightarrow (E\mathfrak{r})[F(\mathfrak{r}) \& G(\mathfrak{r})]</math>

(c) <math>(\mathfrak{r})\overline{F(\mathfrak{r})} \sim \overline{(E\mathfrak{r})F(\mathfrak{r})}</math>

2. 如果 <math>x</math> 和 <math>\mathfrak{r}'</math> 仅在变量顺序上不同，则可以证明:

<math>(E\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \rightarrow (E\mathfrak{r}')F(\mathfrak{r})</math>

3. 如果 <math>\mathfrak{r}</math> 由多个不同的变量组成，且位数与 <math>\mathfrak{r}</math> 相同，则可以证明:

<math>(\mathfrak{r})F(\mathfrak{r}) \rightarrow (\mathfrak{r}')F(\mathfrak{r}')</math>

即使 <math>\mathfrak{r}'</math> 包含多个相同的变量。

1. 如果 <math>(p_i)</math> 表示前缀 <math>(x_i)</math> 之一，<math>(Ex_i)</math>；且 <math>(q_i)</math> 是前缀 <math>(y_i), (Ey_i)</math> 之一，则可证:
 <math>(p_1)(p_2)\ldots(p_n)F(x_1x_2\ldots x_n) \& (q_1)(q_2)\ldots(q_m)G(y_1y_2\ldots y_m) \sim \sim (P)[F(x_1x_2\ldots x_n) \& G(y_1y_2\ldots y_m)]^\top</math> 

对于每个由 <math>(p_i)</math> 和 <math>(q_i)</math> 和 <math>ker</math> 满足条件: 对于 <math>i < k \leq n(p_i)</math> 位于 <math>(p_k)</math> 之前，而对于 <math>i < k \leq m(q_i)</math> 位于 <math>(q_k)</math> 之前。

1. 所有表达式都可以化简为范式，即对于所有表达式 <math>A</math>，都存在一个范式公式 <math>N</math> 使得 <math>A \cap N</math> 可证明。
2. 如果 <math>A \cup B</math> 可证明，则 <math>\mathfrak{F}(A) \cap \mathfrak{F}(B)</math> 也可证明，其中 <math>\mathfrak{F}(A)</math> 表示任何包含 <math>A</math> 作为部分的表达式 (参见 Hilbert-Ackermann, 《论逻辑 III》, §7)。
3. 任何普遍有效的命题公式都是可证明的，即公理 1-4 构成了命题演算的完整公理系统。

现在我们来证明定理 I，首先要注意它也可以表示成以下形式:

'''定理 II''' 任何狭义函数演算公式要么是可证伪的，要么是可满足的 (在可数变量域中)。

定理 I 由定理 II 推出: 设 <math>A</math> 是一个普遍表达式，则 <math>\overline{A}</math> 不可满足，因此可被定理 II 证伪，即 <math>\overline{A}</math>，从而 <math>A</math> 也是可证明的。反之亦然。

我们现在通过以下语句定义一个表达式 <math>K</math> 的类 <math>\mathfrak{R}</math>:

1. <math>K</math> 是一个正规公式。
2. <math>K</math> 不包含自由的个体变量。
3. <math>K</math> 的前缀以一个泛符号开头，以一个 <math>E</math> 符号结尾。

则以下成立：

'''定理 III''' 如果每个 A-表达式都是可证伪的或可满足的，则所有表达式均成立。

证明：设 <math>A</math> 是一个不属于 <math>\mathfrak{A}</math> 的表达式。设它包含自由变量 <math>\mathfrak{r}</math>。显而易见，<math>A</math> 的可证伪性蕴含着 <math>(E\mathfrak{r})A</math> 的可证伪性，反之亦然（根据引理 1e 和结论 3 或公理 5）；根据脚注中的定义，可满足性也同样成立。设 <math>(P)N</math> 为 <math>(E\mathfrak{r})A</math> 的范式，且 <math>(E\mathfrak{r})A \cup (P)N</math> 可证。此外，设 <math>B = (x)(P)(Ey)[N \& \{F(x) \lor \overline{F(y)}\}]</math>，则 <math>(P)N \sim B</math> 可证（根据引理 4 及 <math>(x)(Ey)[F(x) \lor F(y)]</math>） <math>B</math> 属于 <math>\mathfrak{R}</math>，因此根据假设，它要么是可满足的，要么是可证伪的。但根据 (1) 和 (2)，<math>B</math> 的可满足性蕴含 <math>(Ex)A</math> 的可满足性，从而也蕴含 <math>A</math> 的可满足性，可证伪性亦然。因此，<math>A</math> 也是可满足的，要么是可证伪的。

根据定理 III，只需证明：

每个 <math>\mathfrak{R}</math>-表达式要么是可满足的，要么是可证伪的。

为此，我们将 <math>\mathfrak{R}</math>-表达式的次数定义为其前缀的泛符号复数的数量，该复数由 <math>E</math> 个符号分隔，并首先证明：

'''定理 IV''' 如果每个 <math>k</math> 次表达式都是可满足的，要么是可证伪的，那么同样的道理也适用于每个 <math>k+1</math> 次表达式。

证明：设 <math>(P)A</math>，是 <math>k+1</math> 次的 <math>\mathfrak{R}</math>-表达式。设 <math>(P) = (\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})(Q)</math> 且 <math>(Q) = (\mathfrak{u})(E\mathfrak{v})(R)</math>，其中 <math>(Q)</math> 的次数为 <math>k</math>，<math>(R)</math> 的次数为 <math>k-1</math>。此外，设 <math>F</math> 为不存在于 <math>A</math> 中的函数变量。则设:

<math>B = (\mathfrak{r}')(E\mathfrak{r}')F(\mathfrak{r}'\mathfrak{r}') \& (\mathfrak{r})(\mathfrak{r})[F(\mathfrak{r}\mathfrak{r}) \to (Q)A]</math>

且

<math>C = (\mathfrak{r}')(\mathfrak{r})(\mathfrak{u})(E\mathfrak{r}')(E\mathfrak{v})(R)\{F(\mathfrak{r}'\mathfrak{r}') \& [F(\mathfrak{r}\mathfrak{r}) \to A]\}^{1b}</math>

然后，将引理 4 与引理 6 结合应用两次，可得到以下可证性：<math>B \sim C</math>；此外，显然：<math>B \to (P)A</math> 一般成立。现在，<math>C</math> 的次数为 <math>k</math>，因此根据假设，它要么是可满足的，要么是可证伪的。

如果它是可满足的，那么 <math>(P)A</math> 也是可满足的（根据 (3) 和 (4)）。如果它是可证伪的，那么 <math>B</math> 也是可证伪的（根据 (3)），也就是说，<math>\overline{B}</math> 是可证的。在 <math>\overline{B(Q)}</math> <math>A</math> 代替 <math>F</math>，则可证：

(3') <math>(E\mathfrak{r}')(Q)A \& (\mathfrak{r})(\mathfrak{r})[(Q)A \to (Q)A]</math>

当然，由于 <math>(\mathfrak{r})(\mathfrak{r})[(Q)A \to (Q)A]</math> 是可证的，所以 <math>(\mathfrak{C}')(E\mathfrak{r}')(Q)A</math> 也是可证的，也就是说，在这种情况下，<math>(P)A</math> 是可证伪的。事实上，<math>(P)A</math> 要么是可证伪的，要么是可满足的。

现在只需证明：

'''定理 V''' 每个一次公式要么是可满足的，要么是可证伪的。

该证明需要一些定义。令 <math>(\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})A(\mathfrak{r};\mathfrak{r})</math>（简写为 <math>(P)A</math>）为任意一次公式。其中，<math>\mathfrak{r}</math> 表示变量的 <math>r</math> 元组，<math>\mathfrak{r}</math> 表示变量的 <math>s</math> 元组。设想从序列 <math>x_0, x_1, x_2, \ldots x_i \ldots</math> 中取出 <math>r</math> 个表，并将它们视为一个序列：

<math>\mathfrak{r}_1 = (x_0x_0 \ldots x_0), \quad \mathfrak{r}_2 = (x_1x_0 \ldots x_0), \quad \mathfrak{r}_3 = (x_0x_1x_0 \ldots x_0) \text{ 等}</math>

并定义一个由 <math>(P)A</math> 导出的公式组成的序列 <math>\{A_n\}</math>，如下所示：

\begin{align*} A_1 &= A(\mathfrak{r}_1; x_1x_2 \ldots x_s) \\ A_2 &= A(\mathfrak{r}_2; x_{s+1}x_{s+2} \ldots x_{2s}) \& A_1 \\ A_n &= A(\mathfrak{r}_n; x_{(n-1)s+1}x_{(n-1)s+2} \ldots x_{ns}) \& A_{n-1} \end{align*}

<math>s</math>-元组 <math>x_{(n-1)s+1} \ldots x_{ns}</math> 表示为 <math>\mathfrak{n}_n</math>，因此：

<math>A_n = A(\mathfrak{r}_n; \mathfrak{n}_n) \& A_{n-1}</math>

此外，我们定义 <math>(P_n)A_n</math> 为：

<math>(P_n)A_n = (Ex_0)(Ex_1) \ldots (Ex_{ns})A_n</math>

显而易见，在 <math>A_n</math> 中只有变量 <math>x_0</math> 到 <math>x_{ns}</math>，因此它们都受 <math>(P_n)</math> 约束。此外，显然 <math>r</math> 元组 <math>\mathfrak{r}_{n+1}</math> 中的变量已经出现在 <math>(P_n)</math> 中（因此，它们与 <math>\mathfrak{n}_{n+1}</math> 中的变量不同）。当省略 <math>r</math> 元组 <math>\mathfrak{r}_{n+1}</math> 中的变量时，<math>(P_n)</math> 剩余的部分记为 <math>(P_n')</math>，因此，无论变量的顺序如何，<math>(Ex_{n+1})(P_n') = (P_n)</math>。

给定这些符号，以下成立：

'''定理 VI''' 对于每个 <math>n</math>，可证明：

<math>(P)A \to (P_n)A_n</math>

为了证明，我们使用完全归纳法：

I. <math>(P)A \to (P_1)A_1</math> 是可证的，因为我们有：

<math>(\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})A(\mathfrak{r};\mathfrak{r}) \to (\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{r}_1)A(\mathfrak{r}_1;\mathfrak{r}_1)</math>

（根据引理 3 和推理规则 4）且

<math>(\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{r}_1)A(\mathfrak{r}_1;\mathfrak{r}_1) \to (E\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{r}_1)A(\mathfrak{r}_1;\mathfrak{r}_1)</math>

（据引理 1a）

II. 对于每个 <math>n</math>，<math>(P)A \& (P_n)A_n \to (P_{n+1})A_{n+1}</math> 是可证的，因为：

<math>(\mathfrak{r})(E\mathfrak{r})A(\mathfrak{r};\mathfrak{r}) \to (\mathfrak{r}_{n+1})(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1})</math>

（根据引理 3 和推理规则 4）且

<math>(P_n)A_n \to (E\mathfrak{r}_{n+1})(P_n')A_n</math>

（据引理 2）进一步

<math>= \to (E\mathfrak{r}_{n+1})[(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1}) \& (P_n')A_n]</math>

（根据引理 1b，代入：<math>(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1})</math> 代替 <math>F'</math>，且 <math>(P_n')A_n(G)</math>。）

如果观察到蕴涵式 (8) 的先行项是 (6) 和 (7) 后项的合取，则可证：<math>(P)A \& (P_n)A_n \to (E\mathfrak{r}_{n+1})[(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1}) \& (P_n')A_n]</math>。

此外，由 (5) 和辅助命题 4、6、2 可证：

<math>(E\mathfrak{r}_{n+1})[(E\mathfrak{r}_{n+1})A(\mathfrak{r}_{n+1};\mathfrak{r}_{n+1}) \& (P_n')A_n] \sim (P_{n+1})A_{n+1}</math>

由 (9) 和 (10) 可得定理 II，结合定理 I 可得定理 VI。

设 <math>A</math> 包含函数变量 <math>F_1, F_2, \ldots F_k</math> 和命题变量 <math>X_1, X_2, \ldots X_l</math>。<math>A_n</math> 由如下形式的初等分量构成：

<math>F_1(x_{p_1} \ldots x_{q_1}), F_2(x_{p_2} \ldots x_{q_2}), \ldots; X_1, X_2, \ldots X_l</math>

仅通过运算 <math>\nu</math> 和 - 即可。我们通过用命题变量替换 <math>A_n</math> 的基本组成部分，并将不同的组成部分（即使它们仅在各个变量的名称上有所不同）替换为不同的命题变量 <math>\psi</math>，为每个 <math>A_n</math> 分配一个命题公式 <math>B_n</math>。此外，我们将“<math>(P)A</math>”的第 <math>n</math> 层满足系统”称为函数系统 <math>f_1^{(n)}, f_2^{(n)} \ldots f_k^{(n)}</math>，该函数系统在整数 <math>z</math>（<math>0 \leq z \leq ns</math>）的定义域中定义，并且对于命题变量 <math>X_1, X_2, \ldots X_l</math>，其真值分别为 <math>w_1^{(n)}, w_2^{(n)} \ldots w_l^{(n)}</math>，其类型为：如果将 <math>F_i</math> 替换为 <math>f_i^{(n)}</math>，将 <math>x_i</math> 替换为数字 <math>i</math>，将 <math>X_i</math> 替换为相应的真值 <math>w_i^{(n)}</math> 在 <math>A_n</math> 中，则结果为真。<math>n</math> 阶满足系统显然存在当且仅当 <math>B_n</math> 可满足。

每个 <math>B_{rt}</math> 作为命题公式要么可满足，要么可证伪（引理 7）。因此，只有两种情况是可以想象的：

1. 至少一个 <math>B_n</math> 是可证伪的。那么，正如人们容易看出的（结论 2、3；辅助命题 1c），相应的 <math>(P_n)A_n</math> 也是可证伪的，因此，由于 <math>(P)A \to (P_n)A_n</math> 的可证性，<math>(P)A</math> 也是可证伪的。
2. 没有 <math>B_n</math> 是可证伪的，所以所有都是可满足的。然后，每个层级都有满足系统。然而，由于每个级别的履行系统数量有限（由于相应单个域的有限性），并且每个第 <math>n+1</math> 级履行系统都包含一个第 <math>n</math> 级作为其一部分（这由连续 &-连接形成 <math> A_n </math> 可直接得出，根据已知推论，在这种情况下存在一系列满足系统 <math> S_1, S_2, \ldots S_k \ldots (S_k </math>，第 <math> k </math> 层)，每个后续系统都包含前一个系统作为其一部分。我们现在在所有整数 <math> \geq 0 </math> 的定义域中定义一个系统 <math> S = \{ \varphi_1, \varphi_2 \ldots \varphi_i; \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_l \} </math>，定义如下：
3. <math> \varphi_p (a_1 \ldots a_i) (1 \leq p \leq k) </math> 成立当且仅当对于上述序列中至少一个 <math> S_m </math>（以及所有后续序列） <math> f_p^{(m)} (a_1 \ldots a_i) </math> 成立。
4. <math> \alpha_i = w_i^{(m)} (1 \leq i \leq l) </math> 至少对一个（然后对所有其他） <math> S_m </math> 成立。

那么显而易见，<math> S </math> 使得公式 <math> (P)A </math> 成立。在这种情况下，<math> (P)A </math> 因此是可满足的，从而完成了上述公理系统完备性的证明。需要注意的是，现在已证明的决策问题等价关系“普遍有效 = 可证明”涉及将不可数函数简化为可数函数，因为“普遍有效”指的是不可数函数集，而“可证明”仅预设了可数证明图集。

定理 I 和定理 II 可以在各个方向上推广。首先，通过在以上公理 1-6 中添加两个公理，很容易将（个体之间的）同一性概念纳入考虑范围：

1. <math>x = x </math>

2. <math>x = y \rightarrow [F(x) \rightarrow F(y)] </math>

则以下内容适用于上述扩展域：

'''定理 VII''' 扩展域中每个普遍有效（更准确地说：在每个个体域中普遍有效）的公式都是可证明的

并且 VII 的等价公式

'''定理 VIII''' 扩展域中的每个公式要么是可证伪的，要么是可满足的（在有限或可数个体域中）。

为了证明，令 <math> A </math> 表示扩展域中的任意公式。我们构造一个公式 <math> B </math>，它是 <math> A_1 (x)x = x </math> 与所有由公理 8 得出的公式的乘积（&-运算），方法是用 <math> A </math> 中出现的函数变量代替 <math> F </math>，更准确地说：

<math>(x)(y)\{x = y \rightarrow [F(x) \rightarrow F(y)]\}</math>

对于所有来自 <math> A </math> 的一元函数变量，

<math>(x)(y)(z)\{x = y, \rightarrow [F(xz) \rightarrow F(yz)]\} \& (x)(y)(z)\{x = y, \rightarrow [F(zx) \rightarrow F(zy)]\}</math>

对于 <math> A </math> 中所有二元函数变量（包括“=”本身），以及 <math> A </math> 中三位和多位函数变量的相应公式。设 <math> B' </math> 是当 <math> B </math> 中的 = 符号被 <math> G </math> 替换后得到的公式，而 <math> G </math> 中原本不存在该符号。此时，= 符号不再出现在表达式 <math> B' </math> 中，因此根据之前的证明，它要么是可证伪的，要么是可满足的。如果它是可证伪的，那么同样适用于 <math> B </math>，它是通过用 = 替换 <math> G </math> 得到的。然而，<math> B </math> 是 <math> A </math> 的逻辑乘积，并且是公式的一部分，该公式显然可以根据公理 7 和 8 得到。因此在这种情况下，<math> A </math> 也是可证伪的。现在假设 <math> B' </math> 可被可数个体域 <math> \Sigma </math> 中的某个函数组 <math> (S) </math> 满足。从 <math> B' </math> 的构成方式可以清楚地看出，<math> g </math>（即，系统 <math> S </math> 中用于替代 <math> G </math> 的函数）是一个自反、对称且传递的关系，从而生成了 <math> \Sigma </math> 元素的分类，使得同一类元素的相互替换不会改变系统 <math> S </math> 中函数的存在与否。因此，如果将同一类中的所有元素等同起来（例如，将类本身视为一个新的个体域的元素），那么 <math> g </math> 就进入恒等关系，并且满足 <math> B </math>，从而也满足 <math> A </math>。事实上，<math> A </math> 要么是可满足的，要么是可证伪的。

定理 I 的另一个推广可以通过考虑可数无限的逻辑表达式集来获得。与定理 I 和定理 II 类似的情况也适用于这些表达式集，即：

'''定理 IX''' 狭义函数演算中，每个可数无限的公式集要么是可满足的（即，系统中的所有公式都同时可满足），要么有一个有限子系统，其逻辑积是可证伪的。

IX 可直接得出：

'''定理 X''' 对于可数无限公式系统，要使其可满足，其每个有限子系统都是可满足的必要且充分条件。

关于定理 X，我们首先注意到，它的证明可以局限于一次正规公式系统，因为通过将定理 III 和 IV 的证明过程反复应用于各个公式，可以为每个公式系统 <math> \Sigma </math> 指定一个一次正规公式系统 <math> \Sigma' </math>，使得 <math> \Sigma </math> 的任何子系统的可满足性都等价于 <math> \Sigma' </math> 的相应子系统的可满足性。所以是

<math>(\mathfrak{r}_1)(E\mathfrak{y}_1) A_1 (\mathfrak{r}_1;\mathfrak{y}_1), (\mathfrak{r}_2)(E\mathfrak{y}_2) A_2 (\mathfrak{r}_2;\mathfrak{y}_2) \ldots (\mathfrak{r}_n)(E\mathfrak{y}_n) A_n (\mathfrak{r}_n;\mathfrak{y}_n) \ldots</math>

为可数系统 <math> \Sigma </math>，由一次正态表达式组成，<math> x_i </math> 为 <math> r_i </math> 个元组，<math> \mathfrak{y}i </math> 为变量的 <math> s_i </math> 个元组。设 <math> x_1^1, x_1^2 \ldots x_n^i \ldots </math> 为从序列 <math> x_0, x_1, x_2 \ldots x_n \ldots </math> 中取出的所有 <math> r_i </math> 个元组的序列，且指标和按递增。此外，令 <math> \mathfrak{y}k^i </math> 为上述序列中变量的 <math> s_i </math> 元组，且变量序列

<math>\mathfrak{y}_1^1, \mathfrak{y}_2^1, \mathfrak{y}_1^2, \mathfrak{y}_3^1, \mathfrak{y}_2^2, \mathfrak{y}_1^3, \mathfrak{y}_4^1 \ldots \text{等}, </math>

如果将每个 <math> \mathfrak{y}k^i </math> 替换为 <math> x </math> 对应的 <math> s_i </math> 元组，则它与序列 <math> x_1, x_2 \ldots x_n \ldots </math>。此外，我们通过以下定义类似于上述公式序列 <math> \{B_n\} </math>：

<math>B_1 = A_1 (\mathfrak{r}_1^1;\mathfrak{y}_1^1) </math>

<math>B_n = B_{n-1} \& A_1 (\mathfrak{r}_n^1;\mathfrak{y}_n^1) \& A_2 (\mathfrak{r}_{n-1}^2;\mathfrak{y}_{n-1}^2) \& \ldots A_{n-1} (\mathfrak{r}_2^{n-1};\mathfrak{y}_2^{n-1}) \& A_n (\mathfrak{r}_1^n;\mathfrak{y}_1^n) </math>

很容易忽略这样一个事实：<math> (P_n) B_n </math>（即，当 <math> B_n </math> 中所有变量都由 <math> E </math> 个符号约束时，由 <math> B_n </math> 导出的公式）是上述系统 <math> \Sigma </math> 的前 <math> n </math> 个表达式的结果。因此，如果 <math> \Sigma </math> 的每个有限子系统都是可满足的，那么每个 <math> B_n </math> 也都是可满足的。但如果每个 <math> B_n </math> 都是可满足的，那么整个系统 <math> \Sigma </math> 也都是可满足的（这可以从定理 V 的证明中使用的推理方法得出（参见第 355 页）），从而证明定理 X。IX 和 X 可以很容易地使用 VIII 的证明方法扩展到包含 = 符号的公式系统。

如果我们将研究范围限制在不包含命题变量的公式系统，并将其视为以出现的函数变量为基本概念的公理系统，则可以对定理 IX 进行略微不同的诠释。这样，定理 IX 便明确指出，任何有限或可数公理系统，如果其公理“所有”和“存在”从不指代类或关系，而只指代个体，则该公理系统要么自相矛盾（即矛盾可以通过有限个形式步骤建立），要么拥有实现。

最后，应该讨论公理 1-8 的独立性问题。至于命题公理 1-4，P. Bernays 已经证明，它们都不是从其他三个推导出来的。它们的独立性不会因公理 5-8 的添加而改变，这可以通过与 Bernays 完全相同的解释来证明，只需将其扩展到包含函数变量和 = 符号的公式即可，具体如下：

1. 省略前缀和单个变量；
2. 在公式的剩余部分，函数变量应视为命题变量；
3. 只能用一个“特定”值来替换符号”“。

为了证明公理 5 的独立性，我们通过替换以下公式的分量，为每个公式分配另一个zu：

<math>(x)F(x), (y)F(y) \ldots; (x)G(x), (y)G(y) \ldots; \ldots </math>

如果出现，则将其替换为 <math>X \vee \neg X</math>。这将公理 1-4 和 6-8 转化为通用公式。并且，由完全归纳推理可以看出，所有根据推理规则 1-4 从这些公理推导出的公式都具备此性质，而公理 5 不具备此性质。公理6的独立性也以完全相同的方式得到证明，只是这里 <math>(x)F(x), (y)F(y) \ldots</math> 等必须替换为 <math>X \& \neg X</math>。为了证明公理 7 的独立性，我们注意到，如果将恒等关系替换为空关系，公理1-6和8（以及由此推导出的所有公式）仍然普遍有效，而公理7则不然。类似地，即使恒等关系被替换，从公理 1-7 推导出的公式仍然普遍有效。

关系被全称关系取代，而公理 8 并非如此（在至少两个个体的个体域中）。人们很容易就能确信，推理规则 1-4 都不是多余的，但本文不再详细讨论。