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'''定理1'''：每个[[良序#良序集|良序集]]都[[良序#概念|同构]]于唯一一个[[序数]]。

'''引理1'''：如果对于两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>， <math>W_{1}</math> 同构到 <math>W_{2}</math>，则这个同构是唯一的。

'''定义'''：一个良序集 <math>(W,<)</math> 根据任意一个 <math>W</math> 的元素 <math>x</math> 得到的'''始段'''为 <math>W(x)=\{u\in W:u<x\}</math>.

'''引理2'''：不存在一个良序集同构于它的始段。

'''定理2'''：对于任何两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>，只会有以下其中一种情况发生:

# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的一个始段；
# <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的一个始段；
# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .

证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 <math>u,y\in W_{2}</math> 使得 <math>W_{2}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，且 <math>u<y</math>，则 <math>W_{2}(u)</math> 也是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。

对于任意 <math>W_{1}</math> 元素 <math>u<x</math>， <math>W_{2}</math> 元素 <math>y</math>，且 <math>W_{1}(x)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，则 <math>W_{1}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(f(u))</math>，则 <math>W_{2}(f(u))</math> 是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，所以 <math>f(u)<y</math>，这个映射是同构。

如果[[ZFC公理体系#值域|值域]]为 <math>W_{2}</math> 且[[ZFC公理体系#定义域|定义域]]为 <math>W_{1}</math>，则这个 <math>W_{1}</math> 同构于<math>W_{2}</math>.

如果定义域是 <math>W_{1}</math> 且值域为 <math>W_{2}</math> 的始段，则 <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的始段。

如果值域是 <math>W_{2}</math> 且定义域是 <math>W_{1}</math> 的始段，则 <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的始段。

（假设最大只存在 <math>W_{1}</math> 始段 <math>A</math> 和 <math>W_{2}</math> 始段 <math>B</math> 同构，考虑最小的 <math>u\in W_{1}</math> 使得 <math>u</math> 不属于 <math>A</math> 和最小的 <math>k\in W_{2}</math> 使得 <math>k</math> 不属于 <math>B</math>，显然，由 <math>u</math> 和 <math>k</math> 分别生成的始段同构，所以 <math>u</math> 和 <math>k</math> 所成的有序对应该是 <math>f</math> 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 <math>W</math> 和序数 <math>a</math>，如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math>，则 <math>W</math> 和 <math>a</math> 的同构也是唯一的（否则，存在 <math>a<b</math> 或 <math>c<a</math> 使得 <math>a</math> 同构于 <math>c</math> 或者 <math>b</math>，由于 <math>a<b</math> 则 <math>a</math> 为 <math>b</math> 始段， <math>c<a</math> 则 <math>c</math> 为 <math>a</math> 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math> 的始段，显然 <math>W</math> 也同构于这个始段对应的序数；如果 <math>W</math> 的始端同构于 <math>a</math>，那么必然存在 <math>b>a</math> 使得 <math>W</math> 同构于 <math>b</math>，由前面可得同构唯一性。

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

[[分类:集合论相关]]