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'''初等嵌入'''（Elementary Embedding） 是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

=== 定义 ===
设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为 从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>

进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。

也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF<sup>−</sup>]]。

=== 临界点 ===
对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。

=== 共尾性 ===
嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。

若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。

=== Kunen 定理 ===
在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。
[[分类:集合论相关]]