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'''葛立恒数(Graham's Number)'''是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。

=== 定义 ===

==== 葛立恒函数 ====
葛立恒函数（Graham's Function）是用[[高德纳箭头]]递归定义的：

<math>G(n)=\begin{cases}3\uparrow^{G(n-1)}3&,n\neq0\\4&,n=0\end{cases}</math>

葛立恒函数的 [[FGH]] 增长率约为<math>\omega +1</math>。

==== 葛立恒数 ====
葛立恒数被定义为 <math>G(64)</math>（有时也被写作 <math>G,g_{64},g(64)</math> 等）。

<math>G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers}</math>

=== 历史 ===
葛立恒数源于拉姆齐理论中以下未解决的问题：<ref>Weisstein, Eric W. "Graham's Number." From ''MathWorld''--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html</ref>

设 <math>N</math> 为超立方体的最小维度 <math>n</math>，使得对于任意 <math>n\geqslant N</math>，若将连接所有顶点对的线段用两种颜色着色，则必然存在一个单色的完全图 K₄（其顶点共面）。求N*的值。
[[文件:GrahamCube.png|缩略图|图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 <math>N^*</math> 至少为 4。]]
为理解问题，首先考虑任意维度的超立方体（1维为线段，2维为正方形，3维为立方体，4维为超立方体等），记其维度为 <math>N</math>。然后想象将所有顶点对用线段连接，并用红色或蓝色为每条线段着色（右侧展示了3维立方体的一种着色方式）。问题要求找到最小的维度 <math>N</math>，使得所有可能的着色方式中必然存在一个单色的完全图 K₄（由四个两两相连的顶点构成，且所有边颜色相同）。

1971 年，R.L.Graham, B.L.Rothschild 在他们的论文<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>中为葛立恒问题提供的上界是 <math>F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)</math>，其中 <math>F</math> 函数的定义为： <math>F(m,n)=\begin{cases}F(m-1,F(m,n-1))&,m\geqslant1\text{ and }n\geqslant2\\2^n&,m=1\\4&,n=2\end{cases}</math>，这相当于 <math>F^7(12)</math> 其中 <math>F(n)=2\uparrow^n3</math>。Sbiis Saibian 称这个数字为 “Little Graham”。

1976 年，Donald E.Knuth 在他的论文<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>中定义了现在所使用的高德纳箭头。

1977 年，M.Gardner 在他的文章<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>中定义了现在的葛立恒数。Gardner 在发现这个数字的大小时，发现很难解释，于是他设计了一个更大、更容易解释的数字。他在 Scientific Amercian 上写了关于这个数字的文章，后来在 1980 年作为数学证明中使用的最大数字进入吉尼斯世界纪录，尽管几年后该记录已被删除。

一说是 Gardner 在与 Graham 交流后，Graham 给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证，Gardner 的原文章里也没有提及此事。

1995 年，John.H.Conway, Richard.K.Guy 在 The Book of Numbers 一书<ref>Conway, J. H., & Guy, R. K. (1995). The Book of Numbers. Copernicus. https://studylib.net/doc/26253636/the-book-of-numbers</ref>中给出了葛立恒数，这被许多人认为是它的来源。

2003 年，Exoo <ref>Exoo, . A Euclidean Ramsey Problem . ''Discrete Comput Geom'' 29, 223–227 (2003). https://doi.org/10.1007/s00454-002-0780-5</ref><ref>Exoo, G. "A Ramsay Problem on Hypercubes." http://isu.indstate.edu/ge/GEOMETRY/cubes.html</ref>证明了 <math>N^*\geqslant11</math>。

2008 年，Jerome Barkley <ref>http://arxiv.org/abs/0811.1055</ref>证明了 <math>N^*\geqslant13</math>。

2013 年，Mikhail Lavrov, Mitchell Lee, John Mackey <ref>http://arxiv.org/abs/1304.6910</ref>通过使用 Hales-Jewett 定理将上限进一步降低到 <math>N^*=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow(3+2\uparrow\uparrow8)</math>。

2019 年，Eryk Lipka <ref>http://arxiv.org/abs/1905.05617</ref>将上限进一步降低到 <math>(2\uparrow\uparrow5138)\times((2\uparrow\uparrow5140)\uparrow\uparrow(2\times2\uparrow\uparrow5137))\ll2\uparrow\uparrow\uparrow5</math>。

=== 比较 ===
<ref>Graham's Number | Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>g_0</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链|链式箭头表示法]]或 BEAF 有效表示。使用 Jonathan Bowers 的 base-3 G 函数，它正好是 <math>G^{64}4</math>。它也可以在 Graham Array Notation 中精确表示为 <math>[3,3,4,64]</math>。Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser 大得多。证明取决于这样一个事实，即使用 Steinhaus-Moser 符号，a(k+2)-gon 中的 n 小于 <math>n\uparrow^{2k-1}n</math>。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。

日本 googologist Fish 证明<ref>Fish. Upper bound of Graham's number in fast-growing hierarchy, July 11, 2021. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Upper_bound_of_Graham%27s_number_in_fast-growing_hierarchy</ref> Graham 的数小于 <math>f_{\omega+1}(64)</math> 在 [[快速增长层级|FGH]] 中，相对于 Wainer 层次结构。

已知远大于葛立恒数的特定整数此后出现在许多严肃的数学证明中，例如，与 Harvey Friedman 的各种有限形式的 Kruskal 定理有关。

==== 与 Busy Beaver 函数的比较 ====

* 2010-09-19： 事实证明，葛立恒数远小于 <math>\Sigma(64)</math>。<ref>Surpassing Graham's Number. https://sites.google.com/site/res0001/surpassing-graham-s-number</ref>
* 2016-07-24：根据 Wythagoras 的说法，他发现了一台图灵机，证明了 <math>\Sigma(18)>G</math> 通过改进 Deedlit11 的机器，并写了一份简短的证明草图，而不是一份严格的证明。<ref>Wythagoras. The nineteenth Busy Beaver number is greater than Graham's Number!, July 24, 2016. [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Wythagoras/The_nineteenth_Busy_Beaver_number_is_greater_than_Graham%27s_Number! https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Wythagoras/The_nineteenth_Busy_Beaver_number_is_greater_than_Graham%27s_Number!]</ref>
* 在英语 googology 社区中，人们认为更好的上限 <math>\Sigma(17)</math> 直到 2021 年 7 月 9 日才被某人证明，但至少没有关于结果的引用来源。
* 2021-03-18：Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数，这意味着 <math>\Sigma(16)>G</math>。<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>
* 2022-07-11： S. Ligocki 证实 Daniel Nagaj 的 16 态图灵机超过了葛立恒数。 <ref>S.Ligochi. BB(16) > Graham's Number, July 11, 2022. https://www.sligocki.com/2022/07/11/bb-16-graham.html</ref>

==== 在其他记号中的近似 ====

* <math>3\rightarrow3\rightarrow64\rightarrow2</math>（[[康威链|链式箭头表示法]]）
* <math>\{3,65,1,2\}</math>（BEAF）
* <math>[3,3,4,64]</math>（Graham Array Notation，精确值）
* <math>E[3]3\#\#4\#64</math>（Hyper-E Notation）
* <math>s(3,64,2,2)</math>（SAN）
* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）
* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[快速增长层级|FGH]]）
* <math>H_{\omega^{\omega+1}}(64)</math> 或 <math>H_{\omega^\omega64}(4)</math>（[[哈代层级|HH]]）
* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[慢速增长层级|SGH]]）

==== 计算末位数字 ====
可通过简单的模幂算法轻松计算葛立恒数的最后位数。以下是一个获取较小 x 值对应葛立恒数末 x 位数 N(x) 的简易算法：

<math>N(x)=\begin{cases}3&,x=0\\3^{N(x-1)}\pmod{10^x}&,x\neq0\end{cases}</math>

然而，若将该公式应用于极大的x值则不成立——尽管该错误公式曾被认为正确，并在 2019 年 12 月前于英语 googology 社区流传。可通过以下思路修正错误：葛立恒数 G(64) 实质是以 3 为底、以极大值 b 为超指数的整数迭代幂次（即 <math>G(64)={}^b3</math> )。

2020年，Marco Ripà 证明<ref>Ripà, M. (2020). On the constant congruence speed of tetration. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 26 (3), 245-260, DOI: 10.7546/nntdm.2020.26.3.245-260. https://nntdm.net/volume-26-2020/number-3/245-260/</ref><ref>Ripà, M., & Onnis, L. (2022). Number of stable digits of any integer tetration. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 28(3), 441-457, DOI: 10.7546/nntdm.2022.28.3.441-457. https://nntdm.net/volume-28-2022/number-3/441-457/</ref>了在十进制下，当且仅当超指数为 1 时 3 的 congruence speed（同余速度）为 0，否则恒为 1。因此，对所有 <math>c=1,2,\cdots,b-2,b-1</math>， G(64) 的末 b-1 位数与 <math>{}^c3</math> 相同。但此性质不适用于 G(64) 的第 b 位数——该数字与 <math>{}^{b+1}3,{}^{b+2}3,{}^{b+3}3,\cdots</math> 的第 b 位数均不相等。由 <math>b-1=\text{slog}_3(G_{64})-1</math>（其中 slog 表示超对数）可得 <math>G_{63} \ll b-1 \ll G_{64}</math>。故最终可证<ref>https://arxiv.org/abs/2411.00015</ref>：对所有正整数 c ，满足：

<math>G_{64}\equiv{^{slog_3(G_{64})+c}}3\pmod{{10}^{slog_3(G_{64})-1}}\land G_{64}\not\equiv{^{slog_3(G_{64})+c}}3\pmod{{10}^{slog_3(G_{64})}}</math>

实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。

葛立恒数的末 20 位是：...04,575,627,262,464,195,387。

当前学术界尚无法计算葛立恒数在十进制下的首位数字（且很可能永远无法实现），但可确定：

* 二进制下首位必为1（因所有非零正整数均满足此性质）
* 三进制下首位必为1（因其是3的幂）
* 九进制下首位必为3（因其是3的奇数次幂）

除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。

最后 400 位数字如下：<ref>Graham's Number | Brilliant Math & Science Wiki. https://brilliant.org/wiki/grahams-number/</ref><syntaxhighlight lang="text">
3881448314065252616878509555264605107117
2000997092912495443788874960628829117250
6300130362293491608025459461494578871427
8323508292421020918258967535604308699380
1689249889268099510169055919951195027887
1783083701834023647454888222216157322801
0132974509273445945043433009010969280253
5275183328988446150894042482650181938515
6253579639961899396790549663800322234872
3967018485186439059104575627262464195387.
</syntaxhighlight>

=== 参考资料 ===
<references />
[[分类:入门]]
[[分类:经典大数]]