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== 概述 ==
部分概念的集合论定义极速回忆版

== 形式化定义 ==

=== 序数与序数关系 ===
==== 序数谓词 Ord(α) ====
 <math>\mathrm{Ord}(\alpha) \iff (\forall x \in \alpha, x \subseteq \alpha) \land (\forall x,y \in \alpha, x \in y \lor y \in x \lor x = y)</math>

谓词<math>\mathrm{Ord}(\alpha)</math>表示α是一个序数，定义包含两个核心条件：
 1. α是传递集，即α的所有元素都是α的子集；
 2. α的全体元素在∈关系下构成全序集。

==== 序数大小关系 α < β ====
 <math>\alpha < \beta \iff \mathrm{Ord}(\alpha) \land \mathrm{Ord}(\beta) \land \alpha \in \beta</math>

序数的小于关系定义为：当且仅当α、β均为序数，且α是β的元素时，α小于β。该定义与序数的良序性天然兼容。

==== 极限序数谓词 Lim(α) ====
 <math>\mathrm{Lim}(\alpha) \iff \mathrm{Ord}(\alpha) \land \alpha \neq \emptyset \land \forall \beta \in \alpha, \beta \cup \{\beta\} \in \alpha</math>

谓词<math>\mathrm{Lim}(\alpha)</math>表示α是一个极限序数，即α为非空序数，且对α中的任意元素β，β的后继<math>\beta \cup \{\beta\}</math>仍属于α，意味着α中不存在最大元。

==== 序数集上确界 Sup(X) ====
 <math>\mathrm{Sup}(X) = \bigcup X</math>

序数集合X的上确界定义为X中所有元素的并集。对于由序数构成的集合，该定义恰好给出该集合的最小上界，符合序数的良序性质。

=== 映射与基数 ===
==== 双射谓词 Bij(f,A,B) ====
 <math>\mathrm{Bij}(f,A,B) \iff (\forall x_1,x_2 \in A, f(x_1)=f(x_2) \to x_1=x_2) \land (\forall y \in B, \exists x \in A, f(x)=y)</math>

谓词<math>\mathrm{Bij}(f,A,B)</math>表示f是从集合A到集合B的双射，即f同时满足：
 1. 单射性：定义域A中不同元素映射到陪域B中不同元素；
 2. 满射性：陪域B中的每一个元素都有定义域A中的元素与之对应。

==== 基数谓词 Card(κ) ====
 <math>\mathrm{Card}(\kappa) \iff \mathrm{Ord}(\kappa) \land \forall \alpha < \kappa, \neg \exists f, \mathrm{Bij}(f,\alpha,\kappa)</math>

谓词<math>\mathrm{Card}(\kappa)</math>表示κ是一个基数（初始序数），即κ是序数，且不存在从任意小于κ的序数α到κ的双射，κ是其对应势的最小序数。

==== 后继基数 κ⁺ ====
 <math>\kappa^+ = \iota \lambda \left( \mathrm{Card}(\lambda) \land \lambda > \kappa \land \forall \mu \left( \mathrm{Card}(\mu) \land \mu > \kappa \to \lambda \leq \mu \right) \right)</math>

基数κ的后继基数<math>\kappa^+</math>定义为大于κ的最小基数。其中<math>\iota</math>为限定摹状词，表示“满足该条件的唯一对象λ”。

==== 可数序数谓词 Countable(α) ====
 <math>\mathrm{Countable}(\alpha) \iff \mathrm{Ord}(\alpha) \land \exists f, \mathrm{Bij}(f,\omega,\alpha)</math>

谓词<math>\mathrm{Countable}(\alpha)</math>表示α是一个可数序数，即α是序数，且存在从最小无限序数ω到α的双射。

=== 共尾性与特殊基数 ===
==== 共尾性 cf(α) ====
 <math>\mathrm{cf}(\alpha) = \iota \beta \left( \mathrm{Ord}(\beta) \land \exists f: \beta \to \alpha, \mathrm{Sup}(f[\beta]) = \alpha \land \forall \gamma < \beta, \neg \exists g: \gamma \to \alpha, \mathrm{Sup}(g[\gamma]) = \alpha \right)</math>

序数α的共尾性<math>\mathrm{cf}(\alpha)</math>定义为满足以下条件的最小序数β：存在从β到α的映射，其像集的上确界为α；且不存在比β更小的序数γ满足该条件，刻画了α的最小共尾子集的序型。

==== 正则基数谓词 Regular(κ) ====
 <math>\mathrm{Regular}(\kappa) \iff \mathrm{Card}(\kappa) \land \mathrm{cf}(\kappa) = \kappa</math>

谓词<math>\mathrm{Regular}(\kappa)</math>表示κ是一个正则基数，即κ是基数，且其共尾性等于自身，等价于κ无法被基数小于κ的、若干个小于κ的序数的并集所覆盖。

==== 极限基数谓词 LimitCard(κ) ====
 <math>\mathrm{LimitCard}(\kappa) \iff \mathrm{Card}(\kappa) \land \forall \lambda < \kappa, \lambda^+ < \kappa</math>

谓词<math>\mathrm{LimitCard}(\kappa)</math>表示κ是一个极限基数，即κ是基数，且对于任意小于κ的基数λ，其后继基数<math>\lambda^+</math>仍小于κ，即κ不是任何基数的后继。

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