用户:星汐镜Littlekk/自用概念梳理

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概述

部分概念的集合论定义极速回忆版

形式化定义

序数与序数关系

序数谓词 Ord(α)

$\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\alpha )⟺(\mathrm{\forall }x\in \alpha ,x\subseteq \alpha )\wedge (\mathrm{\forall }x,y\in \alpha ,x\in y\vee y\in x\vee x=y)$

谓词$\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\alpha )$表示α是一个序数，定义包含两个核心条件：

1. α是传递集，即α的所有元素都是α的子集；
2. α的全体元素在∈关系下构成全序集。

序数大小关系 α < β

$\alpha <\beta ⟺\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\alpha )\wedge \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\beta )\wedge \alpha \in \beta$

序数的小于关系定义为：当且仅当α、β均为序数，且α是β的元素时，α小于β。该定义与序数的良序性天然兼容。

极限序数谓词 Lim(α)

$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}(\alpha )⟺\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\alpha )\wedge \alpha \ne \mathrm{\varnothing }\wedge \mathrm{\forall }\beta \in \alpha ,\beta \cup \{\beta \}\in \alpha$

谓词$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}(\alpha )$表示α是一个极限序数，即α为非空序数，且对α中的任意元素β，β的后继$\beta \cup \{\beta \}$仍属于α，意味着α中不存在最大元。

序数集上确界 Sup(X)

$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}(X)=\bigcup X$

序数集合X的上确界定义为X中所有元素的并集。对于由序数构成的集合，该定义恰好给出该集合的最小上界，符合序数的良序性质。

映射与基数

双射谓词 Bij(f,A,B)

$\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{j}(f,A,B)⟺(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A,f(x_1)=f(x_2)\to x_1=x_2)\wedge (\mathrm{\forall }y\in B,\mathrm{\exists }x\in A,f(x)=y)$

谓词$\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{j}(f,A,B)$表示f是从集合A到集合B的双射，即f同时满足：

1. 单射性：定义域A中不同元素映射到陪域B中不同元素；
2. 满射性：陪域B中的每一个元素都有定义域A中的元素与之对应。

基数谓词 Card(κ)

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )⟺\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )\wedge \mathrm{\forall }\alpha <\kappa ,\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }f,\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{j}(f,\alpha ,\kappa )$

谓词$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )$表示κ是一个基数（初始序数），即κ是序数，且不存在从任意小于κ的序数α到κ的双射，κ是其对应势的最小序数。

后继基数 κ⁺

${\kappa }^{+}=\iota \lambda (\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\lambda )\wedge \lambda >\kappa \wedge \mathrm{\forall }\mu (\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mu )\wedge \mu >\kappa \to \lambda \le \mu ))$

基数κ的后继基数${\kappa }^{+}$定义为大于κ的最小基数。其中$\iota$为限定摹状词，表示“满足该条件的唯一对象λ”。

可数序数谓词 Countable(α)

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}(\alpha )⟺\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\alpha )\wedge \mathrm{\exists }f,\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{j}(f,\omega ,\alpha )$

谓词$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}(\alpha )$表示α是一个可数序数，即α是序数，且存在从最小无限序数ω到α的双射。

共尾性与特殊基数

共尾性 cf(α)

$\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )=\iota \beta (\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}(\beta )\wedge \mathrm{\exists }f:\beta \to \alpha ,\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}(f[\beta ])=\alpha \wedge \mathrm{\forall }\gamma <\beta ,\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }g:\gamma \to \alpha ,\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}(g[\gamma ])=\alpha )$

序数α的共尾度cf(α)，是满足以下条件的唯一的序数β：

β是序数；

存在从β到α的函数f，使得f在β上的像的上确界等于α（即f的像在α中无界）；

对任意小于β的序数γ，都不存在从γ到α的函数g，使得g的像的上确界等于α（即β是能构造出这种无界函数的最小序数）。

共尾度刻画的是 “一个序数能被多小的序数的序列从下方逼近”。比如 cf(ω)=ω，cf(ℵ_ω​)=_ω，cf(ℵ₁​)=ℵ₁​。

正则基数谓词 Regular(κ)

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}(\kappa )⟺\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )\wedge \mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )=\kappa$

谓词$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}(\kappa )$表示κ是一个正则基数，即κ是基数，且其共尾性等于自身，等价于κ无法被基数小于κ的、若干个小于κ的序数的并集所覆盖。

极限基数谓词 LimitCard(κ)

$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )⟺\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )\wedge \mathrm{\forall }\lambda <\kappa ,{\lambda }^{+}<\kappa$

谓词$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )$表示κ是一个极限基数，即κ是基数，且对于任意小于κ的基数λ，其后继基数${\lambda }^{+}$仍小于κ，即κ不是任何基数的后继。

核心序数与基数构造

1. 最小无限序数 ω

$\omega =\iota \alpha (\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}(\alpha )\wedge \mathrm{\forall }\beta ,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}(\beta )\to \alpha \le \beta )$

最小无限序数$\omega$，定义为满足以下条件的唯一序数：它是极限序数，且是所有极限序数中最小的那个。其中$\iota$为限定摹状词，指代满足条件的唯一对象。

2. Ω (Ω₁，第一个不可数基数)

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1=\iota \kappa (\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\kappa )\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}(\kappa )\wedge \mathrm{\forall }\lambda ,\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\lambda )\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}(\lambda )\to \kappa \le \lambda )$

$\mathrm{\Omega }$（也记作${\mathrm{\Omega }}_1$）即第一个不可数基数，定义为满足以下条件的唯一基数：它是不可数的，且是所有不可数基数中最小的那个。

3. Ω_α 序列（第α个无限初始序数）

${\mathrm{\Omega }}_0=1$
$\mathrm{\forall }\alpha ,{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}=({\mathrm{\Omega }}_{\alpha }{)}^{+}$
$\mathrm{\forall }\lambda ,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}(\lambda )\to {\mathrm{\Omega }}_{\lambda }=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha }\mid \alpha <\lambda \}$

${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$序列是对无限初始序数的递归构造，对应集合论中的阿列夫（$\mathrm{\aleph }$）序列，定义分为三类情况： 1. 零阶情况：${\mathrm{\Omega }}_0$定义为1，即第一个有限基数； 2. 后继情况：对任意序数α，第α+1个无限初始序数是第α个无限初始序数的后继基数； 3. 极限情况：对任意极限序数λ，第λ个无限初始序数是所有小于λ的α对应的${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$的上确界。

4. Ω_Ω

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha }\mid \alpha <\mathrm{\Omega }\}$

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}$是第$\mathrm{\Omega }$个无限初始序数，定义为所有下标小于$\mathrm{\Omega }$的${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$的上确界，是大序数理论中Bird's Ordinal的核心锚点构造。