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'''SAM'''
即Simple Admissble Mark，简单非递归系统''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为New.和Old.两个版本。Old.版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而New.版本的良定义程度和投影序数完全一致

SAM的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的SAM在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义

本页面将主要叙述SAM的New版本

首先，SAM存在一类大序数，形如<math>S_\cdots</math>，就像投影中有各种各样的<math>\alpha_\cdots</math>一样，前者的部分性质同样也可以参考后者

其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”

再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把<math>\Omega</math>给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全

然后，SAM的完整定义如下：

# <math>\psi_S(0)=1</math>
# <math>\psi_S(S+1)=h_{S+1}</math>
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>   第2条规则无法使用 且 n的最内项为“<math>S_{...}</math>”且“&的末项”>n 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math>   第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]存在
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>  第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math>   第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数
# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>   第2、3条规则无法使用 且 [&,n]不存在
# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math>   [&,n]存在 且 [%,n]存在
# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>   [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数
# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math>   [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数
# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>   [&,n]不存在

化简规则

# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math>   m>n 或 [&,m]不存在
# <math>\psi_S\#[](n)=\psi_S\#(n)</math>
# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math>  m>n 或 n<S

附加规则
  f(n,m)=“找到n中最外小于<math>S_m</math>的内项，如果等于n则为<math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为<math>S_m</math>；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为<math>h(S_m+1)</math> ， 最终所得的新n的值”
<math>g(x)=max\{S_v|x\geq S_v\}</math>

激活函数<math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>

<math>\psi_S\#[\&](n)</math>的直接内项，是n的末项
  多项式的直接内项，是其末项
  0和S_...的直接内项是自身
  n的内项，是自身和自身内项的直接内项
  n的间接内项，是 不是n的直接内项的 n的内项
  n的最内项，是指所属层数最大的内项
项，是序数

行，是由项依次有序组成的序列

面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右
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