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序数超运算是对序数使用[[超运算序列|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[Googology|googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。

== 原定义 ==
首先，我们仿照[[高德纳箭头]]在自然数上的定义和[[序数#序数的运算|序数运算]]的定义，给出序数使用高德纳箭头的定义：

# <math>\alpha\uparrow^1\beta=\alpha^{\beta}</math>
# <math>\alpha\uparrow^c1=\alpha</math>
# <math>\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)</math>
# <math>\alpha\uparrow^c\lambda=sup\{\alpha\uparrow^c\beta|\beta<\lambda\}</math>

其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。

这样一来，就有<math>\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}|n<\omega\}=sup\{\omega\uparrow^2n|n<\omega\}=\omega\uparrow^2\omega</math>.进一步，对任意<math>\beta\geq\omega</math>，都有<math>\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.再进一步，对任意的<math>c\geq2,\beta\geq\omega</math>,都有<math>\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.

这显然不是我们所期待的。

== 左结合法 ==
第一种试图解决问题的方案是左结合法。它借鉴了[[下箭号表示法|下箭头表示法]]，给出序数使用下箭头的定义：

# <math>\alpha\downarrow^1\beta=\alpha^{\beta}</math>
# <math>\alpha\downarrow^c1=\alpha</math>
# <math>\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha</math>
# <math>\alpha\downarrow^c\lambda=sup\{\alpha\downarrow^c\beta|\beta<\lambda\}</math>

其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。

于是有：

<math>\omega\downarrow^22=\omega^\omega 
</math>

<math>\omega\downarrow^23=\omega^{\omega^2}</math>

<math>\omega\downarrow^2\omega=\omega^{\omega^\omega}</math>

<math>(\omega\downarrow^2\omega)\downarrow^22=\omega^{\omega^{\omega^\omega}}</math>

<math>\omega\downarrow^33=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}</math>

<math>\omega\downarrow^34=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}}</math>

<math>\omega\downarrow^3\omega=\varepsilon_0</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^22=\varepsilon_0^{\varepsilon_0}</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^2\omega=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^\omega}</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^32=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}</math>

<math>(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^33=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}</math>

<math>\omega\downarrow^43=\varepsilon_1</math>

<math>\omega\downarrow^44=\varepsilon_2</math>

<math>\omega\downarrow^4\omega=\varepsilon_\omega</math>

<math>(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^3\omega=\varepsilon_{\omega+1}</math>

<math>(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^42=\varepsilon_{\varepsilon_\omega}</math>

<math>(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^43=\varepsilon_{\varepsilon_\omega2}</math>

<math>\omega\downarrow^53=\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}</math>

<math>\omega\downarrow^54=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}\omega}</math>

<math>\omega\downarrow^5\omega=\zeta_0</math>

<math>\omega\downarrow^6\omega=\zeta_\omega</math>

<math>\omega\downarrow^7\omega=\varphi(3,0)</math>

<math>\omega\downarrow^{1+2n}\omega=\varphi(n,0)</math>

把下箭头用到序数上，其极限为<math>\varphi(\omega,0)</math>，也符合箭头运算的强度。

但是，左结合的下箭头行为和高德纳箭头差异还是不小，而且两个箭头对应一个<math>\varphi(n,0)</math>还是不太符合我们的预期。

== 攀爬法 ==
第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，<math>\varepsilon_1</math>的基本列是<math>\{\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}</math>，我们可以将其表示为<math>\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}</math>.在这里我们把<math>\omega</math>的指数塔固定在<math>\omega</math>。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到<math>\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 layers}</math>.进一步的，按照攀爬法我们有<math>\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 layers}</math>,我们将其记为<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}</math>.

进一步有：

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\varepsilon_{\omega^{\omega}}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\zeta_0</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^3)=\eta_0</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^{\omega})=\varphi(\omega,0)</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varphi(\varphi(1,0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^34=\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,0,0)</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varphi(1,0,1)</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega^2)=\varphi(1,1,0)</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,\varphi(1,0,0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^44=\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),0)</math>

<math>\omega\uparrow^4\omega=\varphi(2,0,0)</math>

<math>\omega\uparrow^5\omega=\varphi(3,0,0)</math>

<math>\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0,0)</math>

由此我们得到了攀爬法序数超运算的极限是<math>\varphi(\omega,0,0)</math>.

但是现在已经证明了，攀爬法是非良序的。因此这一做法得到的推广是不可靠的。

== +1法 ==
第三中试图解决问题的方案是+1法。

它基于一种特别朴素的想法，即：如果<math>\omega\uparrow^c\alpha=\alpha</math>,则修改其值为<math>\omega\uparrow^c(\alpha+1)</math>.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_1</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\times3)=\varepsilon_2</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}</math>

<math>\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varepsilon_{\zeta_0+1}</math>

<math>\omega\uparrow^3(\omega\times2)=\zeta_1</math>

<math>\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\zeta_{\zeta_0}</math>

<math>\omega\uparrow^4\omega=\eta_0</math>

<math>\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)</math>

<math>\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)</math>

于是我们得到其极限为<math>\varphi(\omega,0)</math>。它的优点是它和<math>\varphi</math>函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega</math>这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被<math>\varphi</math>函数上位替代了。

== 总结 ==
到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于<math>\varepsilon_0</math>的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]