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非平凡初等嵌入

设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。  

称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有  

$$

M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].

$$  

若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。

临界点

对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。  

记该最小序数为 j 的临界点：  

$$

\operatorname{crit}(j)=\kappa.

$$

共尾性

称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当  

$$

\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).

$$  

若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。

一致性（Kunen 定理）

在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。  

更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入  

$$

j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}

$$  

使 V 满足 ZFC。