查看“︁初等嵌入”︁的源代码

<!DOCTYPE html>

<html lang="zh-CN">

<head>

<meta charset="utf-8">

<title>非平凡 — Googology Wiki 编码示例</title>

</head>

<body>

<nowiki><h1>非平凡（Non-trivial elementary embedding）</h1></nowiki>

<!-- 统一 MathML 块 -->

<nowiki><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"></nowiki>

  <mtable columnalign="left">

    <!-- 1. 非平凡初等嵌入 -->

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold"><mtext>非平凡初等嵌入</mtext></mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>设</mtext><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>N</mi><mtext>为传递类且满足 ZF⁻；映射</mtext>

          <mi>j</mi><mo>:</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><mi>N</mi>

        </mrow>

        <nowiki><br/></nowiki>

        <mrow>

          <mtext>为初等嵌入当且仅当</mtext>

          <mo>∀</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>)</mo>

          <mtext>及</mtext><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>∈</mo><mi>M</mi>

        </mrow>

        <nowiki><br/></nowiki>

        <mrow>

          <mi>M</mi><mo>⊨</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>]</mo>

          <mo>⇔</mo>

          <mi>N</mi><mo>⊨</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>)</mo><mo>]</mo>

        </mrow>

        <nowiki><br/></nowiki>

        <mrow>

          <mtext>称为非平凡当且仅当</mtext>

          <mo>∃</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≠</mo><mi>x</mi><mo>.</mo>

        </mrow>

      </mtd>

    </mtr>

    <!-- 2. 临界点 -->

    <mtr><mtd><mspace height="0.8em"/></mtd></mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold"><mtext>临界点</mtext></mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>对非平凡初等嵌入</mtext><mi>j</mi><mo>:</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><mi>N</mi><mtext>，存在最小序数</mtext><mi>κ</mi>

        </mrow>

        <nowiki><br/></nowiki>

        <mrow>

          <mtext>使得</mtext><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>κ</mi><mo>)</mo><mo>≠</mo><mi>κ</mi><mo>；记</mtext><mtext>crit</mtext><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>κ</mi><mo>.</mo>

        </mrow>

      </mtd>

    </mtr>

    <!-- 3. 共尾性 -->

    <mtr><mtd><mspace height="0.8em"/></mtd></mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold"><mtext>共尾性</mtext></mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>嵌入</mtext><mi>j</mi><mo>:</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><mi>N</mi><mtext>称为共尾，当且仅当</mtext>

          <mo>∀</mo><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>,</mo><mo>∃</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo>

        </mrow>

        <nowiki><br/></nowiki>

        <mrow>

          <mtext>若</mtext><mi>M</mi><mo>⊨</mo><mtext>ZF</mtext><mtext>且</mtext><mi>N</mi><mo>⊆</mo><mi>M</mi><mtext>，则任何初等嵌入都是共尾的</mtext><mo>.</mo>

        </mrow>

      </mtd>

    </mtr>

    <!-- 4. 一致性（Kunen 定理） -->

    <mtr><mtd><mspace height="0.8em"/></mtd></mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold"><mtext>一致性（Kunen 定理）</mtext></mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入</mtext><mi>j</mi><mo>:</mo><mi>V</mi><mo>→</mo><mi>V</mi><mo>.</mo>

        </mrow>

        <nowiki><br/></nowiki>

        <mrow>

          <mtext>更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数</mtext><mi>λ</mi><mtext>，不存在非平凡初等嵌入</mtext>

          <mi>j</mi><mo>:</mo>

          <msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>

          <mo>→</mo>

          <msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>

          <mtext>.</mtext>

        </mrow>

      </mtd>

    </mtr>

  </mtable>

<nowiki></math></nowiki>

</body>

</html>