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本篇文章在 ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于 ZFC。

由 Tarski 给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数 <math>\kappa</math>，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。

'''引理'''

若 <math>\kappa</math> 是不可达基数，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。

'''证明'''

外延公理：<math>V_\kappa</math> 的元素都是集合，所以它们自然满足。

配对公理：对于任意 <math>a,b\in V_\kappa</math>，我们都可以找到 <math>\alpha</math> 使得 <math>a,b\in V_\alpha</math>，则 <math>\{a,b\}\in V_{\alpha+1}\sube V</math>，所以自然满足。

分离公理模式：对于任意 <math>a\in V_\kappa</math>，我们都可以得到它是某个 <math>V_{\alpha+1}</math>的元素，则任意 <math>z\in a</math> 都是 <math>V_\alpha</math> 的元素，<math>a</math> 的任意子集应该都是 <math>V_{\alpha+1}</math> 的元素，所以自然满足。

正则公理模式：考虑任意非空集 <math>S\in V_\kappa</math>，以及任意 <math>x\in S</math>，因为 <math>S</math> 可以确定其中任意元素的 rank，所以取 <math>S</math> 中 rank 最低的元素 <math>x</math>(由于 Ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank 是序数，取全体 <math>S</math> 中元素的 rank 序数构成一个类即可)，则不存在 <math>y\in S</math> 使得 <math>y\in x</math>，否则 <math>y</math> 的 rank 应该低于 <math>x</math>，矛盾，所以存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>x\cap S</math>为空，得以证明。

幂集公理：由前面可得任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，任意 <math>x</math> 的子集都在 <math>V_\alpha</math> 中，则 <math>\mathcal P(x)\in V_{\alpha+1}</math>。

并集公理：考虑任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math> 而言，它们的任意元素 <math>u</math> 都在某个 <math>V_\beta(\beta<\alpha)</math> 中，任意 <math>u</math> 的元素都在某个 <math>V_\gamma(\gamma<\beta)</math> 中，则 <math>V_{\gamma+1}</math> 中存在 <math>x</math> 的并集。

无穷公理：<math>\omega</math> 是 <math>V_\kappa</math> 的元素。

替代公理模式：由 <math>\kappa</math> 是不可达得到 <math>\kappa</math> 是 Beth 不动点，则 <math>\kappa=|V_\kappa|</math>，则对于任意 <math>X\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，则对于任意映射 <math>f:X\to A,A\sube V_\kappa</math>，则 <math>|A|\le|X|<|V_\kappa|</math>，所以存在某个 <math>b</math> 使得不存在 <math>A</math> 的元素属于 <math>V_\beta</math>，则 <math>A</math> 是 <math>V_\beta</math> 的元素，则 <math>A\in V_\kappa</math>。

选择公理：任意 <math>a={a_n\mid n\in b}\in V_\kappa</math>，则 <math>a\in V_c(c<\kappa)</math>，则存在某个 <math>V_d(d<c)</math> 包含的任意 <math>a_n</math> 的元素，则一定存在一个集合使得它是 <math>\bigcup\{a_n\mid n\in b\}</math> 的子集，得证。

进一步可以得到 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数 <math>y</math> 则可以得到 <math>V_y\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 存在一个不可达基数。

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于 ZFC。

[[分类:集合论相关]]
[[分类:证明]]