查看“︁稳定序数”︁的源代码

<math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_{\beta}</math> 的 <math>\Sigma_{n}</math> 初等子结构，如果任取 <math>\Sigma_{n}</math> 公式 <math>\varphi</math> 均有单射 <math>j</math> 满足<math>L_\alpha\models\varphi(x_1,x_2,\cdots)</math> 等价于 <math>L_\beta\models\varphi(j(x_1),j(x_2),\cdots)</math>，也称其为 <math>L_\alpha\ \Sigma_n\text{稳定到}\ L_\beta</math>。<br>

除此外，我们还有 <math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_\beta-\Pi_n\text{-反射}</math> 用于表达一些精细的层级，其中 <math>L_\alpha\ \Sigma_1\text{稳定到}\ L_\beta</math><br>（如未特别说明，下文的稳定到均为 <math>\Sigma_{1}</math> 稳定到）

函数式定义：   

<math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_{f(\alpha)}\text{-}\Pi_{n}</math> 反射 onto <math>X</math>，当且仅当对于任意 <math>\Pi_{n}</math> 公式 <math>\varphi</math> 及参数 <math>\gamma \in L_{\alpha}</math>、<math>\gamma' \in L_{\alpha'}</math>（其中 <math>\alpha' \in \alpha \cap X</math>），有  
<math>L_{f(\alpha)} \models \varphi(\alpha, \gamma) \rightarrow L_{f(\alpha')} \models \varphi(\alpha', \gamma')</math>。  

序数式定义：    

<math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_{\beta}\text{-}\Pi_{n}</math> 反射 onto <math>X</math>，当且仅当对于任意 <math>\Pi_{n}</math> 公式 <math>\varphi</math> 及参数 <math>\gamma \in \alpha</math>、<math>\gamma' \in \alpha'</math>（其中 <math>\beta' \in \alpha</math> 且 <math>\alpha' \in \alpha \cap X</math>），有  
<math>L_{\beta} \models \varphi(\alpha, \gamma) \rightarrow L_{\beta'} \models \varphi(\alpha', \gamma')</math>。  

关于函数式定义，由于 <math>\omega</math>-ply 的顶点下成员均为 <math>\omega</math>-ply，这会触发 <math>f</math> 与 <math>\alpha</math> 的某种不动点，导致无法继续推进。

== 结构讲解 ==
参见词条 [[Σ1稳定序数|Σ1 稳定序数]]、[[方括号稳定]]。

== 枚举 ==
稳定序数有如下路径:

<math>L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}</math>，则任取 <math>n\in\omega</math> 有 <math>\alpha\in\Pi_n</math>

<math>\beta=\sup_{n\in\omega}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

<math>\beta=\sup_{n\in\omega^2}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_1\ \text{onto}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}^{(1,0)}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\cap\Pi_2</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

<math>\beta=\sup_{n\in\omega}\{\alpha:\Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math><br><br><math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}\cap\Pi_2\text{-ref.}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math><br><br><math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\{n:\Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}^n\ \{L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}^{(1,0)}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

<math>\beta=\sup_{n<\beta}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\cap(\Pi_2\ \text{onto}\ \Pi_2)</math>，则 <math>\beta=\min\ (\Pi_2\ \text{onto}\ \Pi_2)\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math><br><br><br>

<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br>

<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>

<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{x:(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{x}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的，则<math>\beta</math>是 <math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta : L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br>

<math>\beta\in</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}  onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的，则<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>\cap</math>({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是({<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{3}</math>反射<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，则<math>\beta</math>满足对<math>n\in\omega</math>均有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>}<math>\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math>}<math>\cap</math>({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+2}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+3}</math>，则对<math>n\in\omega</math>有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+2}</math>-<math>Pi_{n}</math>反射<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\omega}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\alpha+1}</math>，其中<math>\alpha</math>是最小的<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math><br><br>

<math>\beta</math>是第二个满足<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>的序数<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math><math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>})的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是满足<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math>的最小序数<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是上一条中的<math>\beta</math><br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是最小的<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma*2}</math><br><br>

<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta*2}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2+1}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta^{2}}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\Omega_{\beta+1}}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，则<math>L_{\gamma}</math>是首个大于<math>\beta</math>序数满足<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma+\omega}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\Omega_{\gamma+1}}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，对<math>\gamma\in\alpha</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma_{n}}</math>稳定到<math>L_{\gamma_{n}+1}</math>，对于<math>n\in\omega</math>和<math>\gamma_{n}\in\gamma_{n+1}</math>，则L_{\gamma}<nowiki></math></nowiki>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+\beta}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math><br><br>

<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\zeta}</math>稳定到<math>L_{\zeta+1}</math><br><br>

<math>L_{\beta_{x}}</math>稳定到<math>L_{\beta_{x+1}}</math>，对<math>n\in\omega</math>，则<math>\beta_{n}</math>是<math>\omega</math>-ply，常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射




== 与BMS的关系 ==
Racheline证明BMS良序的文章中，给出了[[Bashicu矩阵|BMS]]到<math>\Sigma_n</math>稳定的一个单射。

我们把BMS中第n行的父项关系记作<n，每个列当成一个单独的序数。如此翻译，就得到了一个<math>\Sigma_n</math>稳定的表达式。

如<math>(0,0)(1,1)</math>,(0,0)记作α，(1,1)记作β，注意到第一行上<math>\alpha<1\beta</math>,第二行上<math>\alpha<2\beta</math>,翻译过来可只写<math>\alpha<2\beta</math>

又如<math>(0,0)(1,1)(2,1)</math>翻译成<math>a<2(b,c),b<1c</math>.

又如<math>(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)</math>,翻译成<math>a<2(b,c,d,e,f),b<1c<1d,b,c,d\in e,e<1f<1g,g<2(j,k,l),j<1k<1l</math>

又如<math>a<2(b,d),b<2(c,e),c<1e,(b,c,e)\in d</math>，翻译成BMS为<math>(0,0)(1,1)(2,2)(3,2)(1,1)</math>.其中属于关系对应的是BMS对应项的位置，然后a稳定到b暗含a属于b。

注意并非满射。如<math>a<1b<2c</math>在稳定中标准而在BMS中是<math>(0,0)(1,0)(2,1)</math>不标准。
[[分类:记号]]