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'''定理'''

对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

'''证明'''

我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序：

<math display=block>
\begin{aligned}
(\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\
&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land \alpha<\gamma)\\
&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land\alpha=\gamma\land\beta<\delta)\\
\end{aligned}
</math>

可以证明，这个序是一个良序．

我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> 保序且一对一．

下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集．

注意到 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\Gamma(0,\omega_\alpha)\ge\omega_\alpha</math>，以及 <math>\mathrm\Gamma[\omega\times\omega]=\omega</math>（取对角线计数）．

我们要证 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>，只需证 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\omega_\alpha</math>．

使用反证法．令 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]</math> 的最小序数，则存在 <math>\beta,\gamma<\omega_\alpha</math> 使得 <math>\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha</math>．

那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>．

取上式两侧的基数，得到 <math>\aleph_\alpha<|\delta\times\delta|</math>．

因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>．

我们刚才设 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma(\omega_\alpha\times\omega_\alpha)</math> 的最小序数，所以 <math>\omega_\xi=\Gamma[\omega_\xi\times\omega_\xi]</math>，即 <math>\aleph_\xi=\aleph_\xi\times\aleph_\xi</math>．

所以 <math>|\delta\times\delta|=|\delta|\times|\delta|=\aleph_\xi\times\aleph_\xi=\aleph_\xi<\aleph_\alpha</math>，矛盾．

因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

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[[分类:证明]]