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在'''集合论'''中，'''一致性'''（Consistency）指一个形式理论无法推导出矛盾（即同时证明某个命题及其否定）。若一个理论存在至少一个模型（即满足所有公理的结构），则该理论是一致的。一致性是形式系统可信度的核心，确保其推导的定理不会导致逻辑悖论。

=== 定义 ===
若理论 <math>T</math> 中不存在命题 <math>\varphi</math> 使得 <math>T\vdash\varphi</math> 且 <math>T\nvdash\varphi</math>，则称 <math>T</math> 一致（或无矛盾）。

=== 相关内容 ===
'''哥德尔第二不完备定理'''：若一个足够强的形式系统（如 ZFC 集合论）是一致的，则它无法在自身内部证明自身的一致性。因此，集合论的一致性通常依赖于更强的元理论（如ZFC + 大基数公理）或模型论方法。

相对一致性：若理论 <math>T</math> 的一致性可由理论 <math>S</math> 证明（即 <math>S\vDash\mathrm{Con}(T)</math>），则称 ''<math>T</math>'' 相对于 ''<math>S</math>'' 一致。

一致性证明方法

* 模型构造：通过构建满足公理的具体结构证明一致性
* 相对一致性证明：通过将理论 ''<math>T</math>'' 的公理翻译为另一理论 ''<math>S</math>'' 的语句，若 ''<math>S</math>'' 一致则 ''<math>T</math>'' 一致
* 内模型法：构建满足大基数公理或其他强公理的内模型，以证明这些公理与 ZFC 的相对一致性

=== 集合论中的经典结果 ===

* ZFC 的一致性：目前未发现 ZFC 存在矛盾，但其绝对一致性无法在 ZFC 内部证明。数学家默认接受 ZFC 的一致性，因其与数学实践高度吻合。
* 许多命题（如 CH、选择公理AC）在 ZFC 中独立，即 <math>\rm ZFC+CH</math> 与 <math>\rm ZFC+\neg CH</math> 均相对 ZFC 一致。
* 某些非主流理论（如新基础理论 NF）的类一致性已证明，但其与 ZFC 的兼容性仍存疑

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