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投影序数（projection）是 test_alpha0 创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。

== 定义 ==

=== 第一个 2-投影序数 ===
我们定义 1-投影序数（1-proj.）就是传统的非递归序数。

2-proj. 是一系列很大的非递归序数。它们被认为是 <math>a<_{\Sigma_1}Ord</math>。第 n 个<math>2-projection</math>被写作 <math>a_n</math>。现在让我们把 <math>a</math> 放进 [[序数坍缩函数|OCF]] 里：

* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
* <math>\psi_a(X+1)=\psi_a(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_a(X\sim a)=\beta\rightarrow\psi(X\sim\beta) \text{不动点}</math>，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

到这里，<math>\psi_a</math> 和 <math>\psi_{\Omega_2}</math> 还没有区别，区别在下面这一条：

如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则 <math>\psi_a(X\sim\beta)=\bigcup_{\gamma<\beta}\psi_a(X\sim\gamma)</math>，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a 的下一个 Ω 序数，即 <math>\Omega_{a+1}</math>，也是一个 1-proj.！这意味着，<math>\psi_a(\Omega_{a+1})\neq\psi_a(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\cdots))))</math>，而是等于 <math>\sup\{\psi_a(a),\psi_a(a^a),\psi_a(\varepsilon_{a+1}),\psi_a(\zeta_{a+1}),\psi_a(\Gamma_{a+1}),\psi_a(BO(a+1)),\cdots\}</math>。通俗的说，就是需要穷尽 a 的递归运算。投影序数能挣脱 <math>\Omega_2</math> 的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义 <math>\Omega_{a+1}</math> 之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进 OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。

=== 更多的 2-投影序数 ===
我们定义 <math>\psi_{a_n}</math> 如下：

* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
* <math>\psi_{a_{n+1}}(0)=\Omega_{a_n+1}</math>
* <math>\psi_{a_n}(X+1)=\psi_{a_n}(X)\times\omega</math>
* <math>\psi_{a_n}(X\sim a_m)=\psi_{a_n}(X\sim \beta\rightarrow\psi_{a_m}(X\sim\beta)\text{不动点})</math>，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数，m>n
* 如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则<math>\psi_{a_n}(X\sim\beta)=\bigcup_{\gamma<\beta}\psi_{a_n}(X\sim\gamma)</math>,其中~是任意运算或者是任意递归函数

它们的作用可以理解为，当你在 <math>\psi_a</math> 内部需要用到 <math>\Omega_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots</math> 这些东西的时候，需要 <math>\psi_{a_2}</math> 来表示它们。

=== n-投影序数 ===
定义 p_m 是 <math>m\text{th}\ n+1-\rm Projection</math>，q 是 <math>\text{1st}\ n-\rm Projection</math>，P_n 是 <math>n-\rm Projection</math> 的集合：

\(\begin{align} 
&\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\ 
&\psi_{p_{m + 1}}(0) = p_m \tag{2}\\ 
&\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\ 
&\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\ 
&\psi_{p_m}(\#\sim p_m) = \beta \rightarrow \psi_{p_m}(\#\sim \beta) \quad \text{Fixed Point} \tag{5} 
\end{align}\)

以上规则便统一定义了 <math>n-\rm Projection</math>。

通俗的说，<math>(n+1)-Projection</math> 之于 <math>n-projection</math> 的关系就如同 <math>a_n</math> 之于 <math>\Omega_n</math>，高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。

== 扩展 ==
''TO DO: 向上投影''

== 在 OCF 中的行为 ==
''TO DO: 在 OCF 中的行为''

== 枚举和强度分析 ==
''主词条：[[投影 VS 反射稳定|投影序数 VS 反射稳定]]，[[非递归BMS分析|非递归 BMS 分析]]，[[投影序数 VS 方括号稳定]]''

对投影序数的强度分析是极端重要的。因为投影序数类似递归记号的规则必须通过扽西才能被人理解。本词条仅列出关键节点。
{| class="wikitable"
!投影序数
!反射稳定
![[非递归BMS|非递归 BMS]]
|-
|<math>\psi_a(0)</math>
|<math>\Omega</math>
|<math>(1,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a)</math>
|<math>\varepsilon_{\Omega+1}</math>
|<math>(1,1)(2,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1})</math>
|<math>\Omega_2</math>
|<math>(1,1,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}+a)</math>
|<math>\varepsilon_{\Omega_2+1}</math>
|<math>(1,1,1)(2,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}2)</math>
|<math>\Omega_3</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}^2)</math>
|<math>2~1-2</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a+1}^{\Omega_{a+1}})</math>
|<math>2-2</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a_2)</math>
|<math>\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\Omega_{a_2+1})</math>
|<math>\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(a_\omega)</math>
|<math>\omega-\pi-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|<math>\psi(\Omega_{a_\omega+1})</math>
|<math>\omega-\pi-\Pi_1</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(a_{b+1}^\omega))</math>
|<math>\lambda\alpha.(psd.\Pi_0[\omega])-\Pi_0</math>
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(\varepsilon_{a_{b+1}+1}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(\Omega_{a_{b+1}+1}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,1)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(a_{b+2}))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2)</math>
|-
|<math>\psi_a(\psi_b(b_\omega))</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)</math>
|-
|<math>\psi_a(\omega-proj.)</math>
|
|<math>(1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>a</math>
|
|<math>(1,1,1,1)</math>
|-
|<math>\Omega_{a+1}</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
|<math>a_2</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,1,1)</math>
|-
|<math>b</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>b_2</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)</math>
|-
|<math>c</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|<math>\omega-projection</math>
|
|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3)</math>
|}
[[分类:记号]]