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== 偏序集 ==

如果一个非空集合 A 上定义的一个二元关系 <math>\leq</math> 满足

# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>
# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \& b \leq a)\Rightarrow a = b</math>
# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>

我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 <math>(A,\leq)</math>

== 良序集 ==

在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集 <math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math> 是一个'''全序集'''。上述定义等价于 <math>\forall a,b\in A</math>，总有 <math>a \leq b</math> 或 <math>b \leq a</math> 一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。

== 概念 ==
在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：

如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，若 <math>\rm{xLy}</math> 有 <math>\rm{f(x)Rf(y)}</math>，则称 f 是保序映射。

良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W|x<u\}</math> 是 W 关于 u 的前段。

于是我们可以定义'''序型'''：

如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，且存在 <math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>和<math>\rm{f'} : B \rightarrow A</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> '''同构'''，且具有相同的序型。

如果集合 <math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,L)</math> 的序型小于 <math>(B,R)</math>。

[[分类:集合论相关]]