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一个给定语言<math>\lambda</math>的模型是一个对<math>(A,I)</math>，其中<math>A</math>为全域/宇宙，<math>I</math>为<math>A</math>上的解释函数，负责把<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

我们定义，一个数学结构<math>A</math>满足某个公式<math>\phi(a,b,\cdots)</math>，

当且仅当<math>\phi(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。

一个语句集<math>\Sigma</math>的模型，是一个数学结构<math>A</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

== 模型的同构 ==

我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>是同构的，当且仅当存在一个<math>A</math>到<math>B</math>的一对一函数<math>f</math>使得以下四点成立：

* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>(<math>P</math>为某个<math>n</math>元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)

* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>

* <math>f(c^A)=c^B</math>

* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>

== 子模型 ==
我们称一个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>是模型<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>的子模型，当且仅当：

<math>\alpha\subset\beta</math>，<math>P^A\subset{P^B}</math>，<math>F^A\subset{F^B}</math>，<math>c^B\in{A}</math>且<math>A</math>在任意<math>A</math>上函数下封闭。

一个从<math>B</math>到<math>A</math>的嵌入是一个<math>B</math>和<math>A</math>的子模型<math>B_1</math>之间的同构关系。

一个<math>A</math>的子模型<math>B</math>是<math>A</math>的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何<math>B</math>中的元素<math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，

<math>B\models\phi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>当且仅当<math>A\models\phi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。

两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。