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Σ1稳定序数是一个非递归记号。它是最初级的[[稳定序数]]。本条目介绍<math>\omega-\pi-\Pi_0</math>之前的Σ1稳定链的结构讲解。

前排提示：请先阅读条目[[反射序数]]。

== 结构讲解 ==

=== 反射序数的进位模式 ===
绝大多数读者应该在学习[[序数坍缩函数|OCF]] 时第一次接触“折叠 (Collapsing) ”这个概念。在最基础的OCF中，我们以 <math>\omega^{\text{CK}}_n=\Omega_n</math>作为折叠用的序数。

[[序数#递归序数与非递归序数|递归序数]]与非递归序数的差距，是我们对“折叠”最直观的感受——一个序数想要“折叠”它下方的序数，前提应该是：它下方的一系列序数如何递归运算都达不到它本身。

比如， Ω 是 ω 作任何递归运算都无法得到的序数，任何的 <math>\omega^\omega,\varepsilon_0,\rm BO,\rm \psi(\psi_I(0))</math>… 都小于Ω。

再往上，“递归运算”好像也需要被加强。 M 看起来像是从 Ω 出发如何取容许点都得不到的序数， K 是如何取<math>\Pi_2\rm\ onto</math> 都得不到的序数……

有没有什么方式，能够系统性地总结这些规律呢？

我们曾经用<math>(1-)^{1,0}</math>定义 <math>\alpha\rightarrow(1-)^{\alpha}</math>的不动点。现在，我们尝试一种新的记法： <math>(1-)^{\alpha}=(1-)^{1,0}</math>

在这种记法中，<math>(1-)^{\alpha}</math>被定义成：<math>(1-)^{\alpha}=\{\alpha|\forall \beta<\alpha,\alpha\in(1-)^\beta\}</math>

右边的集合定义了一个“真不动点”，也就是这样定义出来的<math>\rm onto^\alpha</math>都是<math>\rm real. onto^{1,0}</math> 。

这种记法定义出来的<math>(1-)^\alpha</math>为<math>\{\varepsilon_0,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots\}</math> 。

再往上，我们还可以定义<math>(1-)^{\alpha+1}</math> ：<math>(1-)^{\alpha+1}=\Pi_1\ \rm onto\ (1-)^\alpha</math>

此处的<math>(1-)^\alpha</math> 和上文的定义相同。这样的定义可以规避不存在 <math>\alpha=\varepsilon_{\alpha+1}</math>的问题。

以此类推，我们有：<math>(1-)^{\alpha+n}=(1-)^n\ (1-)^\alpha</math>

然后定义<math>(1-)^{\alpha\times2}</math>：<math>(1-)^{\alpha\times2}=\{\alpha|\forall\beta<\alpha,\alpha\in1-)^{\alpha+\beta}\}</math>

考虑<math>(1-)^{\alpha+n}</math> ，

当 <math>n=\varepsilon_0</math>的时候， <math>(1-)^{\alpha+n}</math> 实际上就是 <math>\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>这一类序数；

当 <math>n=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>的时候， <math>(1-)^{\alpha+n}</math> 则是 <math>\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}</math>之类的序数。

以此类推， <math>(1-)^{\alpha\times2}</math>实际上就是所有 ζ 序数的真类（真类一般是一个比集合更大的概念）。

同样地， <math>(1-)^{\alpha\times3}</math>则是 <math>\eta</math>序数的真类，<math>(1-)^{\alpha\times\omega}</math> 则是 <math>\varphi(\omega,n)</math>序数的真类。

继续，还可以定义 <math>(1-)^{\alpha^2}, (1-)^{\alpha^\alpha} , (1-)^{\varepsilon_{\alpha+1}} \cdots</math>

细心的读者会发现，这里的α实际上与OCF中Ω的行为相当相似，<math>\alpha\times n</math> 与 <math>\psi(\Omega^n)</math> 起到的作用相当。

我们常说<math>\Pi_2</math>折叠<math>(1-)^{\alpha,\beta,\gamma,\cdots}</math> ，也会说Ω折叠了<math>\psi(n)</math>，而这里的 <math>(1-)^{\alpha,\beta,\gamma,\cdots}</math>和 <math>\psi(n)</math>都可以被<math>(1-)^{\alpha\text{的递归运算}}</math> 所代替，通过α更加复杂的递归运算，我们总能表示通过<math>\Pi_1</math>和onto 得到的一系列真类。

在<math>\psi(\Omega_{I+1})</math>等地方，我们使用 <math>\Omega_{I+1}</math>来折叠 <math>I,I^I,I^{I^I},\cdots</math>等 I 的递归运算。这样的做法可以扩展到更大的各种非递归序数。

那么既然诸如 <math>\Omega_{\alpha+1}</math> 这样的α的非递归运算可以折叠α的递归运算，那么我们也可以用<math>(1-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>来表示一个折叠 <math>\Pi_1-\rm reflection</math>的真类，即：<math>\Pi_2=\Pi_1\rm \ onto^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

又称作：<math>\Pi_1</math>和<math>\Pi_2</math>之间的进位为迭代<math>\Omega_{\alpha+1}</math>次进位。

这种记法是一种服务于应用的记法，想要严谨化定义它需要相当复杂的集合论和数理逻辑知识，此处不多作介绍。

同样地，按照这种记法，能够有：

<math>2\ 1-2=(1-)^{\Omega_{\alpha+1}}\ 2</math>

<math>2-2=(2\ 1-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

这种记法巧妙地将“取容许点”等概念化作一个序数的递归运算，从而将各种“折叠方式”统一。

这样的事实也解释了为什么我们总是用<math>\psi_I</math>折叠<math>\Phi(\alpha,\beta,\gamma,\cdots)</math>和<math>\psi_M</math>折叠 <math>I(\alpha,\beta,\gamma,\cdots)</math>，而不选择用<math>\psi_M</math>去折叠 <math>\Phi(\alpha,\beta,\gamma,\cdots)</math>：

因为 <math>\Phi(\alpha,\beta,\gamma,\cdots)</math>对应的刚好是 <math>(1-)^{\alpha\text{的递归运算}}~2</math> ，那么折叠它的理应是 <math>2\ 1-2=(1-)^{\Omega_{\alpha+1}}\ 2</math>；<math>I(\alpha,\beta,\gamma,\cdots)</math>对应的刚好是 <math>(2\ 1-)^{\alpha\text{的递归运算}}</math> ，折叠它的理应是 <math>2-2=(2\ 1-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>。

以下是一些例子：

对于<math>2~1-(2-2)</math>，按照 [[初等序列系统|PrSS]]方式展开，我们知道它是 <math>(1-)^{\alpha,\beta,\gamma,\cdots}\ 2-2</math>。这对应了 <math>(1-)^{\alpha\text{的递归运算}}\ 2-2</math>，故折叠它的是<math>(1-)^{\Omega_{\alpha+1}}\ 2-2</math> ，这个式子就是 <math>2\ 1-(2-2)</math> 。

对于<math>2~1-(2~1-)^{1,0}(2-2)</math>，按照PrSS方式展开，我们知道它是 <math>(1-)^{\alpha,\beta,\gamma,\cdots}\ (2\ 1-)^{1,0}\ 2-2</math>。这对应了 <math>(1-)^{\alpha\text{的递归运算}}\ (2\ 1-)^{1,0}\ 2-2</math> ，故折叠它的是<math>(1-)^{\Omega_{\alpha+1}}\ (2\ 1-)^{1,0}\ 2-2</math> ，这个式子就是 <math>2\ 1-(2\ 1-)^{1,0}\ (2-2)</math> 。

对于<math>2-2\ 1-2-2</math>，按照PrSS方式展开，我们知道它是 <math>(2\ 1-)^{\alpha,\beta,\gamma\cdots}\ 2-2</math> 。这对应了<math>(2\ 1-)^{\alpha\text{的递归运算}}\ 2-2</math>  ，故折叠它的是 <math>(2\ 1-)^{\Omega_{\alpha+1}}\ 2-2</math>，这个式子就是 <math>2-2\ 1-2-2</math> 。

在反射序数的更高阶段，仍然遵从<math>\Omega_{\alpha+1}</math>次进位： 

<math>2-2-2=(2-2\ 1-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

<math>3=(2-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

<math>3-3=(3\ 2-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

<math>4=(3-)^{\Omega_{\alpha+1}}</math>……

一般地，只要是基于PrSS规则展开的反射序数表达式，都遵循迭代<math>\Omega_{\alpha+1}</math>次进位。

=== 稳定序数的定义基础 ===
走完反射序数的长路，我们就得到了 <math>\rm psd.\Pi_\omega</math> 。如果我们对它进行一系列更强的迭代，就可以有：

<math>\rm\Pi_1\ onto\ psd.\Pi_\omega</math>、<math>\rm\Pi_2\ onto\ psd.\Pi_\omega</math>、<math>\rm\Pi_3\ onto\ psd.\Pi_\omega,\cdots</math>、<math>\rm psd.\Pi_\omega\ onto\ psd.\Pi_\omega</math>、<math>\rm psd.\Pi_\omega\ onto\ psd.\Pi_\omega\ onto\ psd.\Pi_\omega</math>、<math>\rm psd.\Pi_\omega\ onto^4</math>、<math>\rm psd.\Pi_\omega\ onto^\omega</math>、<math>\rm psd.\Pi_\omega\ onto^\alpha=\rm psd.\Pi_\omega\ onto^{1,0}</math>、<math>\rm psd.\Pi_\omega\ onto^{\alpha^{\alpha}}\cdots</math>

然后我们得到 <math>(\rm real.)\ \Pi_\omega=\rm psd.\Pi_\omega\ onto^{\Omega_{\alpha+1}}</math>。

通过一些特殊手段，我们还可以定义下标超过 ω的反射序数，比如：

<math>\Pi_{\omega+1}=\Pi_\omega\rm \ onto^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

<math>\Pi_{\omega+2}=\Pi_{\omega+1}\rm \ onto^{\Omega_{\alpha+1}}</math>

<math>\rm psd.\Pi_{\omega\times2}=\sup\{\Pi_{\omega+n}\ |\ \textit n\in\omega\}</math>

<math>\rm real.\Pi_{\omega\times2}=psd.\Pi_{\omega\times2}\rm \ onto^{\Omega_{\alpha+1}}</math>……

继续，我们还可以定义<math>\Pi_{\omega^\omega},\Pi_{\varepsilon_0},\Pi_{\Omega},\Pi_{I},\Pi_{\Pi_\omega},\cdots</math> 一直到<math>\alpha\rightarrow\Pi_{\alpha}=\Pi_{1,0}</math> 。

不过，我们有一个更高效的方式，那就是稳定序数。

如果α是<math>\rm real.\Pi_\omega</math>反射序数，那么α 就是 α+1 稳定序数；

如果α是<math>\rm real.\Pi_{\omega\times2}</math>反射序数，那么α就是α+2 稳定序数；

……
[[分类:记号]]