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'''燃烧数(Fusible number)'''，是一系列序型为<math>\varepsilon_0</math>的正有理数．

== 定义 ==
考虑以下的数学问题：一个人处于一个封闭的房间之中．他想要测量一段时间，但是房间之中没有钟表，只有一系列恰好能够在一小时内燃尽的绳索．这些绳索的燃烧速度是不均匀的，因此不能通过其长度来判断时间，但是可以通过将其两端全部点燃的方式测量一半的时间．现在想问：仅靠这些绳索，这个人可以在房间之中测量哪些时间？

这里所有能够测量出来的时间称为'''燃烧数'''．

可以证明：
如果<math>a</math>和<math>b</math>均为燃烧数，那么<math>(a+b+1)/2</math>也是燃烧数，并且由这个规则可以从<math>0</math>生成所有的燃烧数． 

== 建立数学模型 ==

【待补充一些具体操作的例子】

为了研究燃烧数的问题，我们首先需要对其抽象，建立数学模型．每根绳子有两个末端．我们只允许以下两种操作：

* 在开始的时候（时刻为 <math>0</math>）点燃若干末端．
* 在一根绳子燃尽时点燃若干末端．

并有规定：若有绳子在 <math>t</math> 时刻燃尽，则 <math>t</math> 是燃烧数．

如果一根绳子的两端都被点燃，设其第一个末端的点燃时刻为 <math>t_1</math>，第二个末端的点燃时刻为 <math>t_2</math>，其中 <math>t_1,t_2</math> 都是燃烧数，且有 <math>0\le t_2-t_1<1</math>，那么不难算出这根绳子燃尽的时刻是 <math>(t_1+t_2+1)/2</math>．如果这根绳子只有一个末端被点燃，点燃时刻是 <math>t</math>，那么它燃尽的时刻就是 <math>t+1</math>．

综上，我们对燃烧数建立了清晰的认识：

* <math>0</math> 是燃烧数．
* 若 <math>a</math> 是燃烧数，则 <math>a+1</math> 是燃烧数．
* 若 <math>a,b</math> 是燃烧数且 <math>|b-a|<1</math>，则 <math>(a+b+1)/2</math> 是燃烧数．
* 所有燃烧数都能通过以上三种方式产生．

从上面第三条可以看出，若 <math>a</math> 是燃烧数，取 <math>b=a</math>，则得到 <math>a+1/2</math> 也是燃烧数，进而 <math>a+1</math> 是燃烧数．这蕴含了上面第二条．所以上面的条件可以进一步精简为：

* <math>0</math> 是燃烧数．
* 若 <math>a,b</math> 是燃烧数且 <math>|b-a|<1</math>，则 <math>(a+b+1)/2</math> 是燃烧数．
* 所有燃烧数都能通过以上两种方式产生．

【待补充一些具体计算的例子】

== 伪燃烧函数 ==

定义函数 <math>f:\R\to\R</math> 为：<math>f(x)</math> 表示 <math>x</math> 到下一个燃烧数的距离．例如，<math>1/3</math> 的下一个燃烧数是 <math>1/2</math>，所以 <math>f(1/3)=1/2-1/3=1/6</math>．

显然，若 <math>x<0</math>，则 <math>x</math> 的下一个燃烧数是 <math>0</math>，所以 <math>f(x)=-x</math>．

若 <math>x\ge 0</math>，则 <math>x</math> 的下一个燃烧数是 <math>(a+b+1)/2>x</math>，其中 <math>a,b</math> 是燃烧数，且 <math>|b-a|<1</math>．

所以 <math>2x<a+b+1\le a+(a+1)+1=2(a+1)</math>，即 <math>a>x-1</math>．

然而，<math>a</math> 是否就是 <math>x-1</math> 之后的第一个燃烧数呢？其实不一定，不过我们假设如此．这样得到的结果其实已经不是真实的燃烧数，我们叫它“伪燃烧数”．我们假设 <math>a=x-1+f(x-1)</math>．

接下来考虑 <math>b</math>．现在对 <math>b</math> 有两个限制，其一是 <math>b>a-1</math>，其二是 <math>(a+b+1)/2>x</math>．后者即为 <math>b>2x-1-a</math>．因为 <math>a<x</math>，所以 <math>2x-1-a>2a-1-a=a-1</math>，也就是说第二条比第一条更强，我们只需考虑第二条限制 <math>b>2x-1-a</math> 即可．

在确定了 <math>a</math> 之后，为了找到大于 <math>x</math> 的最小燃烧数，我们应该让 <math>b</math> 尽可能小，让 <math>b</math> 是 <math>2x-1-a</math> 后的第一个燃烧数，即 <math>b=2x-1-a+f(2x-1-a)</math>．

有了以上的分析，我们就可以算出 <math>f(x)</math> 了：

<math display=block>\begin{aligned}
f(x)\,&=(a+b+1)/2-x\\
&=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\
&=f(2x-1-a)/2\\
&=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\
&=f(x-f(x-1))/2
\end{aligned}</math>

综上，

<math display=block>f(x)=\begin{cases}-x&x<0\\ \dfrac 12 f(x-f(x-1))&x\ge 0\end{cases}</math>

这就是伪燃烧函数．

有了上述迭代公式，我们可以尝试直接计算较小的<math>f(n)</math>．我们有

<math>f(0)=\frac{1}{2}f(0-f(0-1))=\frac{1}{2}f(-f(-1))=\frac{1}{2}f(-1)=\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}</math>，

<math>f(1)=\frac{1}{2}f(1-f(1-1))=\frac{1}{2}f(1-f(0))=\frac{1}{2}f(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-f(\frac{1}{2}-1))=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-f(-\frac{1}{2}))=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}f(0)=\frac{1}{8}</math>．

对于<math>n=2</math>，可以算出

<math>f(2)=\frac{1}{1024}</math>

对于更大的<math>n</math>，为了简化计算，我们需要定义以下概念：

设<math>A_\alpha</math>是从小到大第<math>\alpha</math>个燃烧数(0是第1个)，<math>d(\alpha)=-log_2f(A_\alpha)</math>，规定<math>d(0)=0</math>．

我们可以证明<ref>https://zhuanlan.zhihu.com/p/1908578056337076774</ref><math>d(\alpha)</math>满足如下递推关系：

# <math>d(\alpha+1)=1+d(\alpha)</math>
# <math>d(\omega^\alpha\times{(k+1)}+\beta)=k+d(\omega^\alpha+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^\alpha</math>
# <math>d(\omega^{\alpha+1}+\beta)=2+d(\omega^\alpha+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^{\alpha+1}</math>
# <math>d(\omega^\alpha+\beta)=1+d(\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]}+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^\alpha</math>

其中<math>\chi(\alpha)</math>满足如下递推关系：

# <math>\chi(\omega^\alpha\times{(k+1)}+\beta)=\chi(\omega^\alpha+\beta)</math>，<math>k\geq1</math>，<math>\beta<\omega^\alpha</math>为极限序数
#<math>\chi(\omega^\alpha+\beta)=\chi(\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]}+\beta)</math>，<math>\alpha</math>，<math>\beta</math>为极限序数，<math>\beta<\omega^\alpha</math>，<math>\beta\neq\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]+1}</math>
#<math>\chi(\omega^\alpha+\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]+1})=\chi(\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]+1})-1</math>，<math>\alpha</math>为极限序数
# <math>\chi(\omega^{\alpha+1}+\beta)=\chi(\omega^\alpha\times2+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^{\alpha+1}</math>为极限序数
# <math>\chi(\omega^{\alpha+1}\times{(k+1)})=\chi(\omega^{\alpha+1})-2</math>，<math>k\geq1</math>
# <math>\chi(\omega^{\alpha+1})=d(\omega^{\alpha+1})-d(\alpha)+1</math>
#<math>\chi(\omega^\alpha\times{k})=d(\omega^\alpha)-d(\alpha)+\chi(\alpha)</math>，<math>k\geq1</math>，<math>\alpha</math>为极限序数

其中<math>\alpha[n]</math>代表其基本列．据此可以计算<ref>https://www.zhihu.com/question/36464952/answer/2912411355</ref><math>f(3)</math>的取值：

<math>f(3)=\frac{1}{2^{1541023937}}</math>。

通过一些技巧，也可以不使用序数直接计算出<math>f(3)</math><ref>https://zhuanlan.zhihu.com/p/26493979529</ref>．

（等待更新）

== 参见 ==

[https://www.zhihu.com/question/36464952/answer/2912411355 Achatinidae 的知乎回答]

<references />

[[分类:记号]]