zFOS
更多操作
zeta-transmitted Fundamental Ordinal Seuence (zFOS)，即ζ点传递型基本序数序列，是3183丶4139在2024年7月创造的序数记号。是FOS系列的阶段性成果，但因为其行为与FOS的理念不符而被废弃。
定义
极限表达式：(0,1,2) (0,(0,1),(0,1,2)) (0,(0,(0,1)),(0,(0,1),(0,1,2))) (0,(0,(0,(0,1))),(0,(0,(0,1)),(0,(0,1),(0,1,2)))) ...
表达式0=(0)是序数0，表达式1=(0,1)是序数1。除了判断序列阶数时，表达式内的元素要尽可能转化为自然数
在序数序列中，每一个作为项的序数的表达式，也是可以展开的。“序列”指底层
1阶项：能写成自然数的项
k+1阶项：以阶数小于等于k的项为内项的项
内项：一个项的内部直接排列的元素
外项：序列中包含这个项的最低阶元素
序列的阶数：找到整个序列最末尾的1（尽可能转化为自然数，直到下一次转化会使末项不是1），然后找这个1的外项，当找k+1次外项后得到整个序列，则这个序列的阶数是是k
基本项：假设展开序列的末项，找到内坏根，内末项的祖先链中以这个内坏根为父项的内项是基本项
最小根项：把末项内基本项及以右的所有内项去掉，得到的剩余部分称作最小根项。
根集：把末项删掉内末项，然后标记这个项;然后把这个项再删掉内末项，再标记;反复这个过程，直到这个项变成最小根项，中间所有标记过的项组成的集合称作根集
父项：外项中自己左边的最右边的小于自己的项
k阶次序列：把一个序列拆分为一个个k阶项，然后在所有这些项的内项中找到[除所有得到项的内首项外最小]的内项；然后对所有项取以下操作：如果项中有这个内项，那么这个项保留[最右边的该内项及以右的所有内项]；如果没有，则保留[最右边的等于该项首内项的项及以右的所有内项]。在所有拆分的项取完之后按原序列的方式组成序列，就是这个序列的k阶次序列
与序列同阶的重合加法a+ₚb：找到a的末尾和b的开头的最大数量的重合的内元素，如果(b中这些重合内元素以右的内元素)组成的序列的次序列 比完整的b的次序列大，则把b中右边的这些内元素承接到a的末尾，否则把完整的b承接到a的末尾，作为a+ₚb的结果；如果a是空序列，则a+ₚb=b。
与序列不同阶的重合加法a+ₚb：把待重合加的k+1阶序列a,b拆分为k阶序列，按一定方法舍弃a的部分内元素后，剩余a的末内元素k阶重合加b的首内元素、b的其他内元素变为(该内元素的父项经k阶重合加法后的结果)k阶重合加该内元素，这些重合加之后的内元素承接到剩余a的后面组成a+ₚb的结果。
舍弃方法为：从右到左将a的尽可能多的内项删掉，使得b在经过上述重合加法后能还原出被删掉的所有内项且还有多余的项；如果无论删掉a的多少个内项都无法做到上述要求，则保留完整的a；如果a的所有元素都将被删掉，则a+ₚb=b。
高阶后继：一个n阶的项最低只能取n阶后继。1阶后继就是常规后继；k+1阶后继是在项的末端添加一个内项(该项首内项的k阶后继)
找坏根：
末项是1时，序列表示后继序数，没有展开，表示删掉末项后序列对应序数的后继；否则
如果末项的父项属于根集，那么这个父项就是坏根，否则需要按下列步骤取次序列，每做一次次序列都需要尝试寻找坏根：首先取2阶次序列，如果取次序列时整个序列的末k阶项被选中（选中就是指它前面的那个项将在取次序列后删掉），那么这次次序列就无法取该阶数，尝试取3阶次序列，3阶也因此无法取则尝试取4阶，以此类推；如果从2到(序列的阶数)阶次序列都无法获取且还未找到坏根，则表达式不合法。
次序列和Y类记号类似，位于同一个k-1阶元素的k阶元素，在做次序列后，可以从次序列项、原序列项、原序列父项画出Y的山脉，即左腿和右腿。
找余项：注意找到坏根后，坏根属于根集的哪个元素，它与根集的最大元素相差的那些内项，称作根集余项。当一个序列取次序列时，从被选中内项出发，重复(沿左腿向左下走一步，再沿右腿向上走一步)步骤，中间经过的内项，除当前序列的首内项之外，最左边的内项和被选中内项所夹(左含右不含)的所有元素，称作祖父余项。
在做次序列和寻找坏根的判定中，余项被忽略，即判定为此时不存在余项
展开：
在找到坏根后，对于某一级次序列的末项，忽略所有余项，如果此时末项只比坏根的内项数多1，且该内项的值是坏根的内首项的(序列阶数-1)阶后继，同时末项的剩余内项与坏根完全相同，则此时可以展开
展开前需要一个步骤，在判定为可以展开的次序列中，如果末项内部存在根集余项，或者上一次次序列中存在祖父余项，则需要做余项提前：如果只存在一种余项，那么将这些余项移至最高阶次序列末项内的最左边，并令其中最左边的余项的父项是(倒数第二项中从左往右第(该余项在第二高次次序列中的父项项序号)个内项)；如果两种余项同时存在，则当(根集余项去掉其中末内项重合加祖父余项)等于祖父余项时，删除祖父余项（此时末内项的父项不存在，但展开后末项会删除），然后提前祖父余项，否则只提前祖父余项，根集余项没有变化
在余项提前后，可以展开：将末项的末内项删掉，然后复制复制单元(从坏根的下一项到末项)n次，再删掉得到表达式的末项
返回原表达式：获得当前表达式是几阶次序列，返回时就做几阶重合加法，原则为左腿项重合加当前项等于右腿项