WSS

WSS（Wu's Sequence System）是无声武息制作的序数记号。

定义

合法式

WSS的合法式是第1项和第2项都是1的自然数序列，即

${\mathrm{s}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{3}},\mathrm{\cdots },{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{|}\mathrm{n},{\mathrm{s}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}},{\mathrm{s}}_{\mathrm{3}},\mathrm{\cdots },{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\in }\mathbb{\mathbb{N}}$，且满足${\mathrm{s}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{1},{\mathrm{s}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{1}$

WSS的极限基本列是$(1,1,2)$、$(1,1,2,4)$、$(1,1,2,4,7)$、$(1,1,2,4,7,11)$……

结构

我们定义以下概念

小项：小项是WSS表达式中，所有小于末项的项。

次项：次项是最靠右的小项。

界部：界部是次项（含）到末项（不含）的序列部分。

小部：对于一个小项a，a的小部是a（含）到次项（不含）的序列部分。

坏根：坏根是满足以下条件的，项索引最大的小项b：①不是次项。②b的小部的字典序小于等于界部。

阶差：阶差d等于末项-坏根-1

好部：好部G是首项（含）到坏根（不含）的序列部分。

坏部：坏部B是坏根（含）到末项（不含）的序列部分。

B_n$B_n$：$B_n$是B的每个元素都加上d*n的新部分。

展开

空表达式对应序数0.

如果WSS的表达式末项是1，那么这个表达式是后继表达式。它的前驱是去掉末项的新表达式。

否则，依次确定该表达式的G、B、$B_n$.该表达式的基本列第n项，就是$G\sim B\sim B_1\sim B_2\cdots \sim B_n$.

分析

目前我们有结论，$WSS(1,1,2,4)={\mathrm{\Gamma }}_0$.