RRSS

Remainder Retention Sequence System(RRSS) 是 梦幻の蝶在 2025.6.22 提出并在 2025.7.19 完善的序数记号。目前已经被发现无穷降链。

定义

RRSS的合法表达式是1开头的自然数序列。极限是1,ω。

阶商序数：a 和 b 的阶商序数指的是$\omega \times c+d$，其中$d=amodb$，$c=(a-d)/b$。

序数差：$\omega \times a+b$和$\omega \times c+d$的序数差是$\omega \times (a-c)$，要求 a>c。

序数和：：$\omega \times a+b$和$\omega \times c+d$的序数和是$\omega \times (a+c)+(b+d)$。 加上 - ω*a+b 加上 ω*c+d 的结果即这两个序数的序数和。

父项：在其之前第一个小于等于元素且在上一层是元素的祖先的数字，若没有上一层则忽略上一个性质。

祖先：父项、父项的父项等构成的集合。

上一层：如果这个序列是一个阶商序列，那么上一层指的是做阶商前的序列，否则上一层不存在。

阶商序列：一个序列的阶商序列的第 i 个位置是这个序列第 i 个位置与其父项的阶商序数。

坏根：阶商序列末项的父项。

好部：坏根（不含）之前的部分。

坏部：坏根（含）之后的部分。

阶差：阶商序列末项与坏根的序数差。

展开：

若最后一个数为 1 则为后继序数。

否则将最后一项减一，然后算出序列的阶商序列，找到坏根。好部保留，将坏部进行复制，每次复制，每项父项和本项一起平移，阶商序列坏部中的每一个元素加上阶差。算出展开的阶商序列之后对初始序列进行还原，得到的序列就是最终的展开序列。

无穷降链

2026.1.8，ddfg 发现了 RRSS 的降链，如下：

1，4, 5, 4>1, 4, 5, 3, 18, 19, 18>1, 4, 5, 3, 18, 19, 17, 136, 137,136>1, 4, 5, 3, 18, 19, 17, 136, 137, 135, 1350, 1351, 1350>1, 4, 5, 3, 18, 19, 17, 136, 137, 135, 1350, 1351, 1349, 16188, 16189, 16188...