HPrSS 良序性

我们首先给出 HPrSS 的停机性证明概要。${\displaystyle }$

令 \(T_{B}\) 表示 Buchholz 符号中 \(D_{\omega}\) 不出现的项集。定义一个完全递归映射

\[ \text {Trans:} T_{B} \rightarrow T \]

\[ t \mapsto \operatorname{Trans} (t) \]

递归方式如下:

若 t = 0，则设 \(\mathrm{Trans}(t) = ()\) 。

假设 \(t = t_{0} + D_{u}t_{1}\) ，其中 \((u, t_{0}, t_{1}) \in \mathbb{N} \times T_{B} \times T_{B}\) 。

如果 \(t_1 = D_00 \cdot m\) ，其中 \(m \in \mathbb{N}\) ，则 \(\operatorname{Trans}(t)\) 是 \(\operatorname{Trans}(t_0)\) 与 \((u, \underbrace{u + 1, \dots, u + 1}_{m})\) 的串联。

否则，Trans(t) 是 Trans( \(t_{0}\) )、(u) 以及将 \(u+1\) 添加到 Trans( \(t_{1}\) ) 的每个元素后得到的有限序列的串联。

令 \(OT_{B} \subset T_{B}\) 表示 \(D_{1}0\) 以下序数项的子集。

定理 1（Trans 的兼容性）

Trans 对 \(OT_{B}\) 的限制满足以下条件:

(1) 它是到 OT 上的双射。

(2) 对于任意 \((t, n) \in (OT_B \setminus \{0\}) \times \mathbb{N}\) , \(Trans(t) \neq ()\) , 并且存在一个 \(t' \in OT_B\) 使得 \(Trans(t') = Expand(Trans(t), n)\) 且 \(t' < t\) 。如果 \(n > 0\) , 则可以取这样的 \(t'\) 使得 \(t[n-1]< t' \leq t[n]\) 。

证明：

对于 \(m \in N\) ，以以下递归方式定义 \(\Sigma_{m} \subset OT_{B}\) ：

如果 \(m = 0\) ，则设 \(\Sigma_{m} = \{D_{0}D_{u}0\mid u\in \mathbb{N}\wedge u > 0\}\) 。

如果 m > 0，则设 \(\Sigma_{m} = \Sigma_{m-1} \cup \{t[n]\mid (t, n) \in \Sigma_{m-1} \times \mathbb{N}\}\) 。

可得 \(\bigcup_{m\in N}\Sigma_{m}=OT_{B}\) 。

令 \(t \in OT_B\) 。根据上面的论证，存在一个 \(m \in \mathbb{N}\) 使得 \(t \in \Sigma_m\) 。设这样的 \(m\) 的最小值记为 \(\mu\) 。我们通过 \(\mu\) 的归纳证明 \(\mathrm{Trans}(t) \in OT\) 。

如果 \(\mu = 0\) ，则对于某个满足 \(u \in \mathbb{N}\) 且 \(u > 0\) 的 \(t = D_0D_u0\) ，因此 \(\mathrm{Trans}(t) = (0,u) \in OT\) 。假设 \(\mu > 0\) ，则取一个 \((t',n) \in \Sigma_{\mu - 1} \times \mathbb{N}\) 使得 \(t = t'[n]\) 。根据归纳假设，我们有 \(\mathrm{Trans}(t') \in OT_B\) 。由于 \(t \notin \Sigma_{\mu - 1}\) ，我们有 \(t \neq t'\) ，因此 \(t' \neq 0\) 。根据 [Buc1]3.2 引理 (a)，它意味着 \(t = t'[n]< t'\) 。取唯一一个 \((u,t_0,t_1) \in \mathbb{N} \times OT_B \times OT_B\) ，满足 \(t' = t_0 + D_u t_1\) 。根据 Expand 和 Trans 的定义，我们有 \(\mathrm{Trans}(t) = \mathrm{Expand}(\mathrm{Trans}(t'),n) \in OT_B\) ，除非其中 \(\mathrm{dom}(t_1) = T_v\) ，其中 \(v \in \mathbb{N}\) 满足 \(u \leq v\) 。因此，我们可以假设其中 \(v \in \mathbb{N}\) 满足 \(u \leq v\) ， \(\mathrm{dom}(t_1) = T_v\) 。

对于每个 \(m \in \mathbb{N}\) , 用 \(t_2(m)\) 表示一个唯一序数项, 满足 \(o(t_2(m)) = o(t'(m))\) , 其中 \(t'(m)\) 是将 \(t'[m]\) 中 \(D_v0\) 最右边的出现替换为 0 后得到的项。再次, 根据 Expand 和 Trans 的定义, \(\mathrm{Trans}(t_2(m))\) 和 \(\mathrm{Trans}(t'(m))\) 与 \(\mathrm{Expand}(\mathrm{Trans}(t'), m)\) 一致。

有 \(t_2(n) \leq t'(n) < t \leq t_2(n + 1) \leq t'(n + 1)\) ，且 \(t\) 等于 \(t'(n)\) 中最右边出现的0用 \(D_v0\) 替换后得到的项，因为 \(t = t'[n]\) 。因此 \(\mathrm{Trans}(t)\) 等于 \(\mathrm{Trans}(t'(n))\) 和 \((a + v + 1)\) 的串联，其中 \(a\) 是 RightNodes(Trans(t)) 中关于坏根搜索规则 Parent 的下一个最右边元素，而 \(\mathrm{Trans}(t'(n + 1))\) 等于 \(\mathrm{Trans}(t)\) 和一个有限序列的串联。由于最右边元素的删除是通过应用 Expand(-,0) 给出的，因此它蕴含着 \(t \in OT\) 。

因此，将 Trans 限制到 \(OT_{B}\) 给出了到 OT 的映射。断言 (1) 和 (2) 可直接从上面的论证中得出，因为对于任何满足 u > 0 的 \(u \in N\) ， \(\mathrm{Trans}(D_{0}0 + D_{0}0) = (0, 0)\) 和 \(\mathrm{Trans}(D_{u}0) = (0, u)\) 。

证毕。

如上证明所示，与对序列系统不同，超原始序列系统与 Buchholz 的序数符号完全兼容。

定理 2（超原始序列系统的终止性）

(1) \(OT\) 及其字典序 \(<_{OT}\) 的对是序数表示法。

(2) 设 \(S \in OT \setminus \{()\}\) 。对于任何映射 \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) ，存在唯一的有限序列 \((X_k)_{k=0}^N\) 在 \(OT\) 中使得 \(X_0 = S\) ， \(X_k\) 是一个非空序列，满足 \(Expand(X_k, f(k)) = X_{k+1}\) ，其中 \(k \in \mathbb{N}\) 小于 \(N+1\) ，且 \(X_N = ()\) 。

证明：(1) 根据引理和 [Buc1]2.2 引理 (c)， \(OT_{B}\) 及其规范序 \(<_{OT_{B}}\) 组成的对，根据定义，与字母的字典序相符，是序数符号。由于 Trans 保留了字典序，引理（Trans 的兼容性）(1) 蕴涵 \((OT_{B}, <_{OT_{B}})\) 同构于 \((OT, <_{OT})\) 。因此， \((OT, <_{OT})\) 是序数符号。

(2) 由于 \((OT_{B}, < OT_{B})\) 是序数符号， \(OT_{B}\) 上的规范序与[]的兼容性以及引理（Trans 的兼容性）(2) 蕴含着对于 \(S\) 属于 Trans 的像的情况的断言，这与引理（Trans 的兼容性）(1) 中 \(OT\) 相一致。

证毕。

接下来是一个更加详细的证明。

令 \(N^{<\omega}\) 表示所有有限自然数序列的集合。

对于 \((a, b) \in (\mathbb{N}^{<\omega})^2\) ，令 \(a \curvearrowright b\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的组合。

对于 \((a,d)\in \mathbb{N}^{<\omega}\times \mathbb{N}\) ，我们递归定义 \(\uparrow (a,d)\) 如下：

如果 \(a = ()\) ，则 \(\uparrow (a,d) := ()\) 。如果存在 \((s,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{<\omega}\) 使得 \(a = (s) \frown b\) ，则 \(\uparrow (a,d) := (s + d) \frown (b,d)\) 。换句话说，它是将 \(a\) 所有分量增加 \(d\) 得到的序列。

设 \(N^{<\omega}\) 中的 \(T_{<(0,\omega)}\) 为

\[ T_{< (0, \omega)} := \{() \} \cup \{(0) \curvearrowright a \mid a \in \mathbb {N} ^ {< \omega} \} \]

如果存在 \(b \in \mathbb{N}^{<\omega}\) 使得 \(a = (0) \frown (b,1)\) ，则 \(a \in T_{<(0,\omega)}\) 为加法主元。

加法主元序列是序数加法主元的自然类似物，这一点可以从稍后定义的映射 \(o_{T}\) 的性质看出。设 \(PT_{<(0,\omega)}\) 为所有加法主元 \(a \in T_{<(0,\omega)}\) 的集合。

对于每个 \(a \in T_{<(0, \omega)}\) ，定义

\[ \operatorname{Node} (a) := \{i \in \mathbb {N} \mid 0 < i < \operatorname{Lng} (a) \land a_{0} < a_{i} \land \forall j \in \mathbb {N}, 0 < j < i \rightarrow a_{j} \geq a_{i} \} \]

并且当 \(Node(a) \neq \emptyset\) 时，让最大值为 RightmostNode(a)，让 \(a_{\text{RightmostNode}(a)}\) 为 \(\delta(a)\) 。

定理 3（如果它是加法主元且不为 (0)，则确定 RightmostNode。）

对于任何 \(a \in PT_{<(0,\omega)}\) 使得 \(a \neq (0)\) ，则 \(1 \in Node(a)\) 。

证明：

根据 \(PT_{<(0,\omega)}\) 的定义， \(\mathrm{Lng}(a) > 0\) 且 \(a_0 = 0\) 。此外，根据 \(a \neq (0)\) ， \(\mathrm{Lng}(a) > 1\) 。根据 \(PT_{<(0,\omega)}\) 的定义，存在 \(b \in \mathbb{N}^{<\omega}\) 使得 \(a = (0) \frown (b,1)\) ，但根据 \(\mathrm{Lng}(a) > 1\) ， \(\mathrm{Lng}(b) > 0\) 。因此， \(a_0 = 0 < b_0 + 1 = a_1\) ，且 \(1 \in \mathrm{Node}(a)\) 。

证毕。

对于每个满足 \(a \neq ()\) 的 \(a \in T_{<(0, \omega)}\) , 定义

\[ \text {UpRightmostNode} (a) := \{i \in \mathbb {N} \mid a_{i} < a_{\mathrm{Lng} (a) - 1} \} \]

,且当 UpRightmostNode(a) ≠ ∅ 时,令最大值为 TopRightmostNode(a),令 \((a_i)_{i=0}^{\text{TopRightmostNode}(a)-1}\) 为 \(G(a)\) , 令 \((a_i)_{i=\text{TopRightmostNode}(a)}^{\text{Lng}(a)-2}\) 为 \(B(a)\) 。令 \(\Delta(a) := a_{\text{Lng}(a)-1} - a_{\text{TopRightmostNode}(a)} - 1\) 。

定理 4（如果不是()且右端点不为0，则确定 TopRightmostNode。）

对于任意 \(a \in T_{<(0, \omega)}\) ，且 \(a \neq ()\) 且 \(a_{Lng(a)-1} \neq 0\) ， \(0 \in UpRightmostNode(a)\) 。

证明：

根据 \(T_{<(0,\omega)}\) 的定义， \(a_{0}=0<a_{\mathrm{Lng}(a)-1}\) ，因此 \(0\in\mathrm{UpRightmostNode}(a)\) 。

证毕。

令 \(T := T_{<(0,\omega)} \cup \{(0,\omega)\}\) 且 \(PT := PT_{<(0,\omega)} \cup \{(0,\omega)\}\) 。本次我们不使用这个公式，但我们将 T 的字典序表示为 \(<_{T}\) ，因为我们稍后会添加一些有趣的知识。

对于每个 \(a \in T\) ，令 \(a\) 的长度为 \(\mathrm{Lng}(a) \in \mathbb{N}\) 。对于每个 \((a, i) \in T \times \mathbb{N}\) ，且 \(i < \mathrm{Lng}(a)\) ，令 \(a\) 的第 \(1 + i\) 个分量为 \(a_i \in \mathbb{N} \cup \{\omega\}\) 。

可计算映射

\[ []_{T} \colon T \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} \]

\[ (a, n) \mapsto a[n]_{T} \]

被递归定义为一个展开规则，该规则自然地推导出“子原序列 # 计算规则”中描述的从子原序列确定自然数的计算过程，如下所示：

如果 \(a = ()\) ，则 \(a[n]_{T} := ()\) 。

如果 \(a=(0,\omega)\) ，则 \(a[n]_{T}:=(0,n)\) 。

令 \(a \notin \{(), (0, \omega)\}\) 。

如果 \(a_{\mathrm{Lng}(a)-1}=0\) ，则 \(a[n]_{T}:=(a_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(a)-2}\) 。

令 \(a_{\mathrm{Lng}(a)-1} \neq 0\) 。

如果 n=0，则 \(a[n]_{T}:=G(a)\) 。

如果 \(n \neq 0\) ，则 \(a[n]_T := a[n-1]_T \curvearrowright \uparrow (B(a), (n-1)\Delta(a))\) 。

为计算次原序列的函数命名，可以更方便地严格讨论终止性质，因此我们将其命名为 \(S\) ，以匹配原始次原序列的符号。换句话说，我们递归地定义可计算子映射

\[ S \colon T \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} \]

\[ (a, n) \mapsto S a[n] \]

如下：

如果 \(a=()\) ，则 \(Sa[n]:=n\) 。

如果 \(a=(0,\omega)\) ，则 \(Sa[n]:=Sa[n]_{T}[n]\) 。

如果 \(a \notin \{(), (0, \omega)\}\) ，则 \(Sa[n]:= Sa[n + 1]_{T}[n + 1]\) 。

由于本文的目的是证明次原序列的终止性，因此无需介绍标准形式，但我们将在此介绍它，以便补充一些关于标准形式的知识。

对于每个 \(i \in N\) ，我们递归定义递归可枚举子集 \(OT_{i} \subset T\) ，如下所示：

如果 i=0，则 \(OT_{i}:=\{(0,\omega)\}\) 。

如果 \(i \neq 0\) ，则 \(OT_{i} := \{a[n]_{T} \mid (a, n) \in OT_{i-1} \times N\}\) 。

此外，设

\[ O T := \bigcup_ {i \in \mathbb {N}} O T_{i} \]

根据定义，OT 也是 T 的递归可枚举子集。OT 是否是 T 的递归子集并非不证自明，因此讨论这一点也颇有趣味。但由于我们这次讨论的是次原序列的终止性，而不是 OT 的性质，因此我们不会涉及这一点。设 \(<_{OT}\) 表示 \(<_{T}\) 对 OT 的限制。

在定义变换映射之前，我们通过介绍将序列分解为加性主序列的方法来引入变换映射的加性概念。

定理 5（分解为加性主部）

对于每个 \(a \in T\) 使得 \(a \neq ()\) ，存在唯一的 \((b, c) \in T \times PT\) 使得 \(a = b \frown c\) 。

证明：

根据 T 的定义， \(\mathrm{Lng}(a)>0\) 且 \(a_{0}=0\) 。因此，

\[ \{i \in \mathbb {N} \mid i < \mathrm{Lng} (a) \land a_{i} = 0 \} \]

是一个非空有限集，且存在最大元素 I。

存在 \((b, c) \in T \times PT\) 使得 \(a = b \curvearrowright c\) ，这是因为，如果我们定义

\[ B := (a_{i})_{i = 0} ^ {I - 1} \]

\[ C := (a_{i})_{i = I} ^ {\mathrm{Lng} (a) - 1} \]

那么 \((b,c)=(B,C)\) 就是一个例子。

根据 PT 的定义，满足 \(a = b \curvearrowright c\) 的 \((b, c) \in T \times PT\) 是唯一的，因为 \(\mathrm{Lng}(c) > 0\) 且 \(c_{0} = 0\) ，并且对于任何满足 \(0 < i < \mathrm{Lng}(c)\) 的 \(i \in N\) ， \(c_{i} > 0\) ，因此 \(\mathrm{Lng}(b) = I\) 且 \((b, c) = (B, C)\) 。

证毕。

设 b 和 c 的唯一存在性由命题（分解为加法原理）保证，分别为 \(L(a)\) 和 \(R(a)\) 。

序数 \(\alpha\) 和映射

\[ o \colon T \quad \rightarrow \quad \alpha \]

\[ a \mapsto o (a) \]

满足以下条件，则它们具有可加性：

\[ o (\left(\right)) = 0_{\circ} \]

对于任何 \(a \in T\) 且 \(a \neq ()\) , \(o(a) = o(L(a)) + o(R(a))\) 。

本质上，这意味着将加法适当地转化为加法。

令 \(\varphi\) 表示 Veblen 函数，令 \(\Lambda := \varphi_{\omega}(0) + 1\) 。

对于每个满足 \(a \neq (0)\) 的 \(a \in PT_{<(0,\omega)}\) , 令 \(\mathcal{L}(a) := (a_i)_{i=0}^{\text{RightmostNode}(a)-1}\) 。根据 RightmostNode(a) 的定义, 存在唯一的 \(b \in PT_{<(0,\omega)}\) 满足 \(a = \mathcal{L}(a) \frown (b, \delta(a))\) 。我们称之为 \(\mathcal{R}(a)\) 。

映射

\[ o_{T} \colon T \to \Lambda \]

\[ a \mapsto o_{T} (a) \]

递归定义如下:

如果 \(a = ()\) ，则 \(o_{T}(a) := 0\) 。

如果 \(a=(0)\) ，则 \(o_{T}(a):=\varphi_{0}(0)\) 。

如果 \(a=(0,\omega)\) ，则 \(o_{T}(a):=\varphi_{\omega}(0)\) 。

令 \(a \in PT_{<(0, \omega)}\) ，且 \(a \neq (0)\) 。

如果存在 \(\alpha\in\Lambda\) 使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) ，则 \(o_{T}(a):=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha+o_{T}(\mathcal{R}(a)))\) 。

否则，使用唯一的 \(\alpha\) 使得 \(1 + \alpha = o_{T}(\mathcal{R}(a))\) ，则 \(o_{T}(a) := \varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) 。

如果以上情况均不适用，则 \(o_{T}(a):=o_{T}(L(a))+o_{T}(R(a))\) 。

根据定义的分支 5，可知 \(o_{T}\) 是可加的。

对于 \((a,n)\in T\times\mathbb{N}^{<\omega}\) ，我们递归定义 \(\mathrm{Expand}(a,n)\) 如下：

如果 \(n = ()\) ，则 \(\text{Expand}(a, n) := a\) 。

如果 \(n \neq ()\) ，则 \(\text{Expand}(a, n) := \text{Expand}(a[n_{0}]_{T}, (n_{i})_{i=1}^{\text{Lng}(n)-1})\) 。

本质上，它是一个重复基本序列的映射。

我们递归地定义 \(a <_{T, \ll_T} b\) 对应于 \((a, b) \in T^2\) 的关系，如下所示：

如果 b=0，则 \(a<T_{,[]T}b\) 为假。

如果 \(b \neq 0\) ，则 \(a <_{T, []_T} b\) 为真当且仅当存在 \(n \in \mathbb{N}^{<\omega}\) 使得 \(\operatorname{Expand}(b, n) = a\) 且 \(n \neq ()\) 。

换句话说， \(a \neq b\) 和 b 可以通过应用基本序列变换成 a。

对于每个 \(a \in T\) ，定义

\[ T_{a} := \{b \in T \mid b < _{T,[]_{T}} a \} \]

并让 \(<_{T,[]_T}\) 对 \(T_a\) 的限制为 \(<_{a,[]_T}\) 。

定理 6 (OT 对应于 \(\Lambda\) )

(1) 对于任意 \(a \in T\) , \((o_T(t[n]_T))_{n \in cof(o_T(t))}\) 是 \(o_T(a)\) 的一个基本序列。 (2) 对于任意 \(a \in T\) , \(o_T\) 到 \(T_a\) 的限制定义了一个保序映射 \((T_a, <_{a,\lfloor T\rangle}) \to (o_T(a), \in)\) 。

顺便说一句，为了证明 \(o_T\) 到 \(OT\) 的限制 \(o_{OT}\) 给出了序同构 \((OT, <_{OT}) \to (\Lambda, \in)\) ，有必要证明 \(o_{OT}\) 是单射，这可以简化为证明类似于 \(o_{OT}\) 定义的字符串映射决定了与Veblen函数相关的序数符号的映射，这可以简化为证明 \(o_T\) 是对于与 \(<_T\) 相关的全序 \(\leq_T\) 的保序映射 \((T, \leq_T) \to (\Lambda, \subset)\) ，并且标准形式的节点关于 \(\leq_T\) 按降序排列，这是一个相当冗长的讨论。不过如果只是想表示终止的话，就没必要表示这样的东西，所以我们这里就不讨论了。

定理证明 (OT 对应于 \(\Lambda\) ):

(1) 我们通过对 \(a\) 的长度进行数学归纳法来证明这一点。

如果 \(\mathrm{Lng}(a)=0,\)

\[ o_{T} (a) = o_{T} (()) = 0 \]

因此， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in \operatorname{cof}(o_{T}(a))}\) 肯定就是空序列 \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in 0}\) ，它是 \(o_{T}(a) = 0\) 的基本序列。

如果 \(a = (0)\) ,

\[ o_{T} (a) = o_{T} ((0)) = \varphi_ {0} (0) = 1 \]

且对于任意 \(n \in \text{cof}(o_{T}(a)) = \text{cof}(1) = 1\) ,

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (()) = 0 \]

因此， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 肯定是一个长度为 1 的序列， \((0)_{n\in1}\) ，并且是 \(o_{T}(a)=1\) 的基本序列。

如果 \(a=(0,\omega)\) ,

\[ o_{T} (a) = o_{T} ((0, \omega)) = \varphi_ {\omega} (0) \]

且对于任意 \(n \in \operatorname{cof}(o_T(a)) = \operatorname{cof}(\varphi_\omega(0)) = \omega\) ,

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} ((0, n)) = \varphi_ {n} (0) \]

因此， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 肯定是一个无限序列 \((\varphi_{n}(0))_{n\in\omega}\) ，且 \(o_{T}(a)=\varphi_{\omega}(0)\) 的基本序列。

令 \(\mathrm{Lng}(a)>0\) ，且 \(a\notin\{(0),(0,\omega)\}\) 。

令 \(\mathrm{Lng}(L(a))=0\) 。

\(a = R(a) \in PT\) ，根据 RightmostNode 的定义， \(\delta(a) \neq 0\) ，因此 \(a[n]_T\) 的计算经过分支 4。

令 RightmostNode(a) = Lng(a) - 1。

TopRightmostNode(a) = 0 且 \(G(a) = ()\) 且 \(B(a) = \mathcal{L}(a) = (a_i)_{i=0}^{\mathrm{Lng}(a)-2}\) 且 \(\mathcal{R}(a) = (0)\) 。根据 \(o_T\) 的定义（分支 1），

\[ o_{T} (a[0]_{T}) = o_{T} (G (a)) = o_{T} (()) = 0 \]

根据 \(\left[\right]_{T}\) 的定义，对于任意 \(m \in N\) ，

\[ \begin{array}{l} a[m + 1]_{T} = a[m]_{T} \curvearrowright \uparrow (B (a), m \Delta (a)) = a[m]_{T} \curvearrowright \uparrow (B (a), m (\delta (a) - 0 - 1)) \\ = a[m]_{T} \curvearrowright \uparrow (B (a), m (\delta (a) - 1)) = B (a) \curvearrowright \uparrow (a[m]_{T}, \delta (a) - 1) \\ \end{array} \]

特别地，如果 \(\delta(a)>1\) ，则 RightmostNode(a)=Lng(a)-1 且

\[ (a[m + 1]_{T})_{\mathrm{Lng} (a) - 1} = (a[m]_{T})_{0} + (\delta (a) - 1) = \delta (a) - 1 < \delta (a) = a_{\mathrm{RightmostNode} (a)} = a_{\mathrm{Lng} (a) - 1} \]

因此，RightmostNode \((a[m+1]_{T})=\mathrm{Lng}(a)-1\) 。

假设存在 \(\alpha\in\varphi_{\omega}(0)\) 使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) 。

\(o_{T}(B(a))=o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) ，且根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 41），

\[ o_{T} (a) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} ((0))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + 1) \]

特别地， \(\mathrm{cof}(o_{T}(a))=\omega\) 。

设 \(\delta(a)=1\) 。

我们利用数学归纳法证明，对于任意 \(n \in N\) ，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = \varphi_ {0} (\alpha) \times n \]

成立。

如果 n=0，那么，正如我们已经证实的，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (a[0]_{T}) = 0 = \varphi_ {0} (\alpha) \times n \]

如果 n > 0，则假设 \(o_{T}\) 可加，并根据对 n 的数学归纳法，

\[ \begin{array}{l} o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (a[n - 1]_{T} \curvearrowright \uparrow (B (a), m (\delta (a) - 1))) = o_{T} (a[n - 1]_{T} \curvearrowright B (a)) = o_{T} (a[n - 1]_{T}) + o_{T} (B (a)) \\ = \varphi_ {0} (\alpha) \times (n - 1) + \varphi_ {0} (\alpha) = \varphi_ {0} (\alpha) \times n \\ \end{array} \]

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in \operatorname{cof}(o_{T}(a))}\) 实际上是无限序列 \((\varphi_0(\alpha)\times n)_{n\in \omega}\) ，它是 \(o_T(a) = \varphi_0(\alpha +1)\) 的基本序列。

设 \(\delta(a) > 1\) 。

设映射

\[ \Lambda \rightarrow \Lambda \]

\[ \xi \mapsto \varphi_ {\delta (a) - 2} (\alpha + \xi) \]

为 f。我们利用数学归纳法证明，对于任意的 \(n \in N\) ，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = f ^ {n} (0) \]

成立。

如果 n=0，那么，正如我们已经证实的，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (a[0]_{T}) = 0 = f ^ {0} (0) \]

如果 n > 0，则 RightmostNode \((a[n]_{T}) = \mathrm{Lng}(a) - 1\) 且 \(\mathrm{Lng}(B(a)) = \mathrm{Lng}(a) - 1\) ，且根据对 n 的数学归纳法假设，

\[ \begin{array}{l} o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (B (a) \curvearrowright \uparrow (a[n - 1]_{T}, \delta (a) - 1)) = \varphi_ {\delta (a) - 2} (\alpha + o_{T} (a[n - 1]_{T})) \\ = f (o_{T} (a[n - 1]_{T})) = f (f ^ {n - 1} (0)) = f ^ {n} (0) \\ \end{array} \]

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 确为无限序列 \((f^{n}(0))_{n\in\omega}\) ，它是 \(o_{T}(a)=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha+1)\) 的基本序列。

假设不存在 \(\alpha\in\varphi_{\omega}(0)\) 使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) 。

根据 \(o_T\) 的定义（分支42）， \(B(a) = \mathcal{L}(a) = (0)\) 且 \(\delta(a) > 1\) ， \(a = (0, \delta(a))\) ，且 \(o_T(a) = \varphi_{\delta(a)-1}(0)\) 。对于任意 \(n \in \mathbb{N}\) ，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & (n = 0) \\ 1 & (n = 1) \\ \varphi_ {\delta (a) - 2} ^ {n - 1} (0) & (n > 1) \end{array} \right. \]

我们利用数学归纳法证明，以下结论对 n 成立。

如果 n=0，那么正如我们已经确认的，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (a[0]_{T}) = 0 = \varphi_ {\delta (a) - 2} ^ {n} (0) \]

所以没问题。

如果 n = 1，那么

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} ((0, \delta (a))[1]_{T}) = o_{T} ((0)) = \varphi_ {0} (0) = 1 \]

所以没问题。

如果 \(n = 2\) ，则

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} ((0, \delta (a))[2]_{T}) = o_{T} ((0, \delta (a) - 1)) = \varphi_ {\delta (a) - 2} (0) = \varphi_ {\delta (a) - 2} ^ {n - 1} (0) \]

所以没问题。

如果 \(n > 2\) ，则 \(\varphi_{\delta (a) - 2}^{n - 2}(0) = 1 + \varphi_{\delta (a) - 2}^{n - 2}(0)\) 且RightmostNode \((a[n]_T) = \mathrm{Lng}(a) - 1\) 且 \(\mathrm{Lng}(B(a)) = \mathrm{Lng}(a) - 1\) ，且根据对 \(n\) 的数学归纳法假设，

\[ \begin{array}{l} o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (B (a) \curvearrowright \uparrow (a[n - 1]_{T}, \delta (a) - 1)) = \varphi_ {\delta (a) - 2} (o_{T} (a[n - 1]_{T})) \\ \varphi_ {\delta (a) - 2} (\varphi_ {\delta (a) - 2} ^ {n - 2} (0)) = \varphi_ {\delta (a) - 2} ^ {n - 1} (0) \\ \end{array} \]

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 必定是 \(o_{T}(a)=\varphi_{\delta(a)-1}(0)\) 的一个基本序列。

令 RightmostNode(a) <Lng(a) - 1。

由于 RightmostNode(a) < Lng(a) - 1, Lng(R(a)) > 1, 则 \(o_T(\mathcal{R}(a)) \notin \{0,1\}\) 。因为 \(\mathcal{R}(a) \in PT_{<(0,\omega)}\) 且由 \(o_T\) 的定义（分支 4）可知， \(o_T(\mathcal{R}(a))\) 为加法主序数，又因为 \(o_T(\mathcal{R}(a)) \notin \{0,1\}\) ，所以 \(o_T(\mathcal{R}(a)) = 1 + o_T(\mathcal{R}(a))\) 且 \(\operatorname{cof}(o_T(\mathcal{R}(a))) = \omega\) 。

又，由于 \(\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a)) < \mathrm{Lng}(a)\) ，根据归纳假设， \((o_T(\mathcal{R}(a)[n]_T))_{n \in \mathrm{cof}(o_T(\mathcal{R}(a)))} = (o_T(\mathcal{R}(a)[n]_T))_{n \in \omega}\) 形成 \(o_T(\mathcal{R}(a))\) 的基本序列。

RightmostNode(a) < Lng(a) - 1 意味着 \(\mathcal{R}(a) \neq (0)\) ，因此 \(B(a) = \uparrow(B(\mathcal{R}(a)), \delta(a))\) 。因此，根据 \(\left\lbrack\right\rbrack_T\) 的定义，

\[ a[n]_{T} = (\mathcal {L} (a) \frown \uparrow (\mathcal {R} (a), \delta (a)))[n]_{T} = \mathcal {L} (a) \frown \uparrow (\mathcal {R} (a)[n]_{T}, \delta (a)) \]

进一步，

\[ (\mathcal {L} (a) \curvearrowright \uparrow (\mathcal {R} (a)[n]_{T}, \delta (a)))_{\text {RightmostNode} (a)} = (\mathcal {R} (a)[n]_{T})_{0} + \delta (a) = \delta (a) = a_{\text {RightmostNode} (a)} \]

因此，如果 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1} \neq 1\) ，则

\[ \text {RightmostNode} (a[n]_{T}) = \text {RightmostNode} (a) \]

假设存在 \(\alpha\in\varphi_{\omega}(0)\) ，使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) 。

根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 41），

\[ o_{T} (a) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} (\mathcal {R} (a))) \]

因此， \(\mathrm{cof}(o_{T}(\mathcal{R}(a)))=\omega\) ，所以

\[ \mathrm{cof} (o_{T} (a)) = \mathrm{cof} (\varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} (\mathcal {R} (a)))) = \omega \]

假设 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1}=1\) 。

则 \(G(a) = \mathcal{L}(a)\) 且 \(B(a) = \uparrow ((\mathcal{R}(a)_i)_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2}, \delta(a))\) 。

另外，由于 \(\mathcal{R}(a)\in PT\) 且 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1}=1\) ，RightmostNode( \(\mathcal{R}(a))=\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1\) ，因此 \(o_{T}(\mathcal{R}(a))=o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\times\omega\) 。

我们利用关于 n 的数学归纳法证明， \(o_{T}(a[n]_{T}) = \varphi_{\delta(a)-1}(\alpha + o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2}) \times n)\) 成立。

如果 \(n = 0\) ，则

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (G (a)) = o_{T} (\mathcal {L} (a)) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\mathrm{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}) \times n) \]

这很好，因为它确实很好。

如果 \(n > 0\) ，则 \(a[n]_T = a[n - 1]_T \curvearrowright B(a) = a[n - 1]_T \curvearrowright (\mathcal{R}(a)_i)_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a)) - 2}\) 。

如前所述，

\[ a[n - 1]_{T} = \mathcal {L} (a) \curvearrowright \uparrow (\mathcal {R} (a)[n - 1]_{T}, \delta (a)) \]

且 \((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2} \in PT,\)

\[ \mathrm{RightmostNode} (a[n]_{T}) = \mathrm{Lng} (a[n - 1]_{T}) \]

根据对 n 的数学归纳法假设，

\[ o_{T} (a[n - 1]_{T}) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\mathrm{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}) \times (n - 1)) \]

因此，根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 41），

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (a[n - 1]_{T} \curvearrowright \uparrow ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}, \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}) \times (n - 1) + o_{T} ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2})) \]

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 肯定是一个基本序列，且 \(o_{T}(a)=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha+o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\times\omega)\) 。

令 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1} \neq 1\) 。

如前所述

\[ a[n]_{T} = \mathcal {L} (a) \curvearrowright \uparrow (\mathcal {R} (a)[n]_{T}, \delta (a)) \]

\[ \operatorname{RightmostNode} (a[n]_{T}) = \operatorname{RightmostNode} (a) \]

因此，根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 41），

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (\mathcal {L} (a) \curvearrowright \uparrow (\mathcal {R} (a)[n]_{T}, \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (\alpha + o_{T} (\mathcal {R} (a)[n]_{T})) \]

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in \operatorname{cof}(o_{T}(a))}\) 正是无限序列 \((\varphi_{\delta (a) - 1}(\alpha + o_T(\mathcal{R}(a)[n]_T)))_{n\in \omega}\) ，并且由于 \((o_{T}(\mathcal{R}(a)[n]_{T}))_{n\in \omega}\) 是 \(o_{T}(\mathcal{R}(a))\) 的基本序列，且 \(\varphi_{\delta (a) - 1}\) 是连续序列，因此这当然也是 \(o_{T}(a) = \varphi_{\delta (a) - 1}(\alpha + o_{T}(\mathcal{R}(a)))\) 。

假设不存在 \(\alpha\in\varphi_{\omega}(0)\) 使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) 。

根据 \(o_{T}(\mathcal{R}(a))=1+o_{T}(\mathcal{R}(a))\) 以及 \(o_{T}\) 的定义（分支 41），

\[ o_{T} (a) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (o_{T} (\mathcal {R} (a))) \]

同样， \(\delta(a)\neq1\) 。

假设 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1}=1\) 。

则 \(G(a) = \mathcal{L}(a) = (0)\) 且 \(B(a) = \uparrow ((\mathcal{R}(a)_i)^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a)) - 2},\delta (a))\) 。

另外，由于 \(\mathcal{R}(a)\in PT\) 且 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1}=1\) ，RightmostNode( \(\mathcal{R}(a))=\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1\) ，因此 \(o_{T}(\mathcal{R}(a))=o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\times\omega\) 。

另外，如果 \(n > 0\) ，则 \(a[n]_T = a[n - 1]_T \curvearrowright B(a) = a[n - 1]_T \curvearrowright (\mathcal{R}(a)_i)_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a)) - 2}\) 。

如前所述，

\[ a[n - 1]_{T} = \mathcal {L} (a) \curvearrowright \uparrow (\mathcal {R} (a)[n - 1]_{T}, \delta (a)) \]

且 \((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2} \in PT,\)

\[ \text {RightmostNode} (a[n]_{T}) = \text {Lng} (a[n - 1]_{T}) \]

令 \(\mathcal{R}(a)=(0,1)\) 。由于 \(o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})=o_{T}((0))=1,\quad o_{T}(a)=\varphi_{\delta(a)-1}(\omega)\) 。

对于任意 \(n \in N\) ,

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & (n = 0) \\ \varphi_ {\delta (a) - 1} (n - 1) & (n > 0) \end{array} \right. \]

由 n 中的数学归纳法可知。

如果 \(n = 0\) ，则

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (G (a)) = o_{T} ((0)) = 1 \]

这样就没问题了。

如果 n=1，则不存在 \(\alpha\) 使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a))=\varphi_{\delta(a)-1}(\alpha)\) ，且 \(o_{T}((0))=1+0\) ，因此根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 42），

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} ((0) \curvearrowright \uparrow ((0), \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (0) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (n - 1) \]

这是正确的。

如果 n > 1，则根据对 n 的归纳假设

\[ o_{T} (\mathcal {L} (a[n]_{T})) = o_{T} (a[n - 1]_{T}) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (n - 2) \]

确实如此。根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 42），

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (\mathcal {L} (a[n]_{T}) \curvearrowright \uparrow ((0), \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (n - 2 + 1) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (n - 1) \]

确实如此。

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 是 \(o_{T}(a)=\varphi_{\delta(a)-1}(\omega)\) 的一个基本序列。

令 \(\mathcal{R}(a)\neq(0,1)\) 。 \(o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\neq1\) ，且 \(o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\) 是可加的。由于它是主式，因此 \(o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})=1+o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\) 满足。

对于任意 \(n \in N\) ,

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & (n = 0) \\ \varphi_ {\delta (a) - 1} \big (o_{T} \big ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\mathrm{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2} \big) \times n \big) & (n > 0) \end{array} \right. \]

我们利用数学归纳法证明 n 成立。

如果 n = 0,

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (G (a)) = o_{T} ((0)) = 1 \]

这就足够了。

如果 \(n = 1\) ，则不存在 \(\alpha\) 使得 \(o_{T}(\mathcal{L}(a)) = \varphi_{\delta (a) - 1}(\alpha)\) ，且 \(o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i = 0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a)) - 2}) = 1 + o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i = 0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a)) - 2})\) 。因此，根据 \(o_{T}\) 的定义（分支42），

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} ((0) \curvearrowright \uparrow ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}, \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} \left(o_{T} \left(\left(\mathcal {R} (a)_{i}\right)_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}\right)\right) = \varphi_ {\delta (a) - 1} \left(o_{T} \left(\left(\mathcal {R} (a)_{i}\right)_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}\right)\right)\left. \right) \]

因此，这是可以的。

如果 n > 1，则根据对 n 的归纳假设，

\[ o_{T} (\mathcal {L} (a[n]_{T})) = o_{T} (a[n - 1]_{T}) = \varphi_ {\delta (a) - 1} \left(o_{T} \left(\left(\mathcal {R} (a)_{i}\right)_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}\right) \times (n - 1)\right) \]

根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 42）

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (\mathcal {L} (a[n]_{T}) \curvearrowright \uparrow ((\mathcal {R} (a)_{i})_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}, \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} \left(o_{T} \left(\left(\mathcal {R} (a)_{i}\right)_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}\right) \times (n - 1) + o_{T} \left(\left(\mathcal {R} (a)_{i}\right)_{i = 0} ^ {\operatorname{Lng} (\mathcal {R} (a)) - 2}\right)\right) \]

确实如此。

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in\mathrm{cof}(o_{T}(a))}\) 肯定为 \(o_{T}(a)=\varphi_{\delta(a)-1}(o_{T}((\mathcal{R}(a)_{i})_{i=0}^{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-2})\times\omega)\) 的基列。

令 \(\mathcal{R}(a)_{\mathrm{Lng}(\mathcal{R}(a))-1} \neq 1\) 。

如前所述

\[ a[n]_{T} = \mathcal {L} (a) \curvearrowright \uparrow (\mathcal {R} (a)[n]_{T}, \delta (a)) \]

\[ \text {RightmostNode} (a[n]_{T}) = \text {RightmostNode} (a) \]

因此，根据 \(o_{T}\) 的定义（分支 42），

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (\mathcal {L} (a) \frown \uparrow (\mathcal {R} (a)[n]_{T}, \delta (a))) = \varphi_ {\delta (a) - 1} (o_{T} (\mathcal {R} (a)[n]_{T})) \]

由上可知， \((o_{T}(a[n]_{T}))_{n\in \operatorname{cof}(o_{T}(a))}\) 只不过是一个无限序列 \((\varphi_{\delta (a) - 1}(o_T(\mathcal{R}(a)[n]_T)))_{n\in \omega}\) ，并且由于 \((o_T(\mathcal{R}(a)[n]_T))_{n\in \omega}\) 是 \(o_T(\mathcal{R}(a))\) 的基本序列，且 \(\varphi_{\delta (a) - 1}\) 是连续的，因此这当然也是 \(o_T(a) = \varphi_{\delta (a) - 1}(o_T(\mathcal{R}(a)))\) 的基本序列。令 \(\mathrm{Lng}(L(a))\neq 0\) 。

根据 \(o_{T}\) 的可加性，

\[ o_{T} (a) = o_{T} (L (a) \curvearrowright R (a)) = o_{T} (L (a)) + o_{T} (R (a)) \]

又因为 \(R(a) \in PT_{<(0,\omega)}\) ， \(R(a) \neq ()\) ，所以根据 \(o_{T}\) 的定义， \(o_{T}(R(a)) \neq 0\) 。因此，

\[ \operatorname{cof} (o_{T} (a)) = \operatorname{cof} (o_{T} (R (a))) \]

另外，根据 \(B(a)\) 的定义，

\[ a[n]_{T} = L (a) \curvearrowright R (a)[n]_{T} \]

又因为 \(o_{T}\) 是可加的，

\[ o_{T} (a[n]_{T}) = o_{T} (L (a) \frown R (a)[n]_{T}) = o_{T} (L (a)) + o_{T} (R (a)[n]_{T}) \]

\(\mathrm{Lng}(R(a)) = \mathrm{Lng}(a) - \mathrm{Lng}(L(a)) < \mathrm{Lng}(a)\) , 因此根据数学归纳法假设, \((o_T(R(a)[n]_T))_{n \in \operatorname{cof}(o_T(R(a)))}\) 是 \(o_T(R(a))\) 的基本序列, 又因为 \(o_T(R(a)) \neq 0\) 且 \(\operatorname{cof}(o_T(a)) = \operatorname{cof}(o_T(R(a)))\) , 所以 \((o_T(a[n]_T))_{n \in \operatorname{cof}(o_T(a))}\) 确实是 \(o_T(a)\) 的基本序列。

(2) 从 (1) 可知， \(o_{T}\) 定义了一个保序映射 \((T, <_{T,\mathbb{I}_{T}}) \rightarrow (\Lambda, \in)\) 。因此，如果我们用 X 表示 \(o_{T}\) 对 \(T_{a}\) 的限制的像，则 \(X \subset o_{T}(a)\) ，而 \(o_{T}\) 的限制定义了一个全射保序映射 \((T_{a}, <_{a,\mathbb{I}_{T}}) \rightarrow (X, \in)\) 。假设 \(X \neq o_{T}(a)\) 会导致矛盾。

根据假设， \(o_{T}(a) \setminus X\) 非空，因此 \(o_{T}(a)\) 的良基性意味着 \(o_{T}(a) \setminus X\) 存在一个最小元素 \(\alpha\) 。自然数序列 \((n_i)_{i \in \mathbb{N}}\) 递归定义如下：

对于任意 \(i \in \mathbb{N}\) , (1) 且 \(\alpha \notin X\) 满足条件, 且 \(\{m \in \mathbb{N} \mid \alpha \in o_T(\text{Expand}(a, (n_j))_{j=0}^{i-1} \smallsetminus (m))\}\) 非空, 因此定义 \(n_i\) 为其最小值。

然后，由于 \(o_T\) 是保序映射 \((T, <_{T,\mathbb{I}_T}) \to (\Lambda, \in)\) ， \((o_T(\text{Expand}(a, (n_j)_{j=0}^i)))_{i \in \mathbb{N}}\) 是 \(\Lambda\) 的无限下降序列，这与 \(\Lambda\) 的良基性相矛盾。由上可知， \(X = o_T(a)\) 。

证毕。

因此，我们现在可以证明亚原始序列的终止性，这也是本文的主题。

定理 7（亚原始序列的停止）

S 是全域的。

证明：

这可直接由定理（OT 对应于 \(\Lambda\) ）（1）以及 \((\Lambda, \in)\) 的良基性推导出来。

证毕。