FOSnn
更多操作
FOSnn 是 3183丶4139于 2024.2.2 创造的记号。是FOS系列记号的阶段性成果。但因为行为不符合预期而被废弃。
20240224 定义
FOSnn（Fundamental Ordinal Sequence with Natural Numbers array）20240224
空序列=Ѻ(0)=0，表达式0=(0)=1
层：Ѻ(n)为第0层，(1,2,3,4,5,...)中的项位于第1层，即底层；某一层的一项的组成部分就是下一层的项
k层尾项：末项为1层尾项
自然数：1=(0)、2=(0,1)、3=(0,1,2)、...，2'=0,1、3'=0,1,2、4'=0,1,2,3、...，用来简写FOSnn的表达式
a的去核：a的表达式(从右往左)去掉a的父项的所有项，但未去掉项的祖先链保留；如果无法这样删去，则取父项的孤立项进行删去；如果删完了，则“不能去核”
a的孤立项：对于一个特定的表达式，将其中a之后的项删掉，得到的a的去核（这里去核的阶数是固定的）
a的夹项：a的表达式去掉(a的去核)得到的剩余项
a的支项：a的夹项中位于被去核去掉的最后项之右的项
a的驻项：a的表达式在(a的夹项)之前的项
末链项：展开时由坏根复制出来的项（末项是第一个末链项）
标准基本列：末项减1(后继序数)或末项取基本列(极限序数)为[1]，此后每增加一个复制单元，[ ]的值加1
找坏根：
①如果末项的2层尾项是0，则在底层中找到末项的前驱（即末项删掉这个0），找到的项为坏根
②否则找到一个最小的p，使序列中至少存在一项和自然数f，末项的p阶去核的基本列的第f项，是这个项的q阶去核；找到这个p之后，被q阶去核的那个项就是坏根(如果有多个则取最靠右的)，f就是基本列的项序号，末项的p阶去核就是E序列
如果②中找不到坏根，则进行下列步骤，前一步找不到坏根时，进行下一步，直到找到坏根：
③还原序列，把1层尾项的所有支项做去核，然后回到步骤②
④还原序列，把1层尾项的所有支项中的2层尾项的所有支项做去核，然后把1层尾项的所有支项做去核，再回到步骤②
⑤还原序列，把1层尾项的所有支项中的2层尾项的所有支项中的3层尾项的所有支项做去核，然后把1层尾项的所有支项中的2层尾项的所有支项做去核，再把1层尾项的所有支项做去核，接着回到步骤②
以此类推，记找到坏根时，进行过的步骤最大序号为c+1
末链项的展开
如果末项是后继序数，按PrSS，其他项的展开是直接复制
否则如果末项的父项是末项的基本列第f项，则第n个末链项展开为基本列第f+n项
否则：
记住末项的每一层的去核和驻项，在展开的第n个末链项中，它的驻项(它在前面的复制单元中的自己的父项都是已知的)都与末项相同(即在复制前后不变)，去核则取自E[f+n^r]序列，这唯一确定了一个序数
r：在c层尾项内，如果c+1层尾项是后继序数，且c+1层尾项的坏根的左边那一项 不是这个坏根的父项，那么r=0，否则r=1
其他项的展开
确定坏部中每一项的每一层的每一阶(要去核到坏根)的去核和驻项，展开式中第n个坏部的对应项，它的驻项和去核也在复制前后不变，【在取下一项基本列，复制开始前，把复制出对应项的项删去】
提升：
把任意找到的一层的(某一 r阶父项在坏根或之后 的项的r阶去核)、(末项的p阶去核)，分别记作“待提升项”“提升终点”，简称为“待项”“终点”
驻项提升：把待项内的驻项找到，把这个驻项放在终点中，所有在终点的坏部内的这些驻项，需要在展开时提升—在第n个复制单元中，从驻项的位置向后移动(末项坏部长度×n)项，经过的项都是驻项。如果在待项中，驻项之后存在支项，那么支项应使用其的去核进行还原展开。
20240228 定义
单独的自然数k也是表达式，为避免混淆，将其记为Ѻ(k)
空序列=Ѻ(0)=0，表达式(0)=Ѻ(1)=1，极限表达式Ѻ(n)=(0,1,2,3,...,n-1)，n→∞
基本概念：
项：序列中的基本元素
项序号：在项所在表达式中，从左往右数，从1开始，第k个项的项序号是k
a的父项：在a所在的表达式中，a左边的最右边的比a小的项；a的k+1阶父项是(a的k阶父项)的父项
a的祖先：a的任意一个阶的父项
a的直子项：以a为父项的任意一个项
a的子项：以a为祖先的任意一个项
a的祖先链：a与a的所有祖先组成的集合
a的祖先树：a、a的所有祖先、a的所有祖先的所有在a之左的子项 组成的集合
a的子项树：a和a的所有子项组成的集合
非标准式：由表达式极限取多次基本列无法得到的表达式
层：Ѻ(n)为第0层，(1,2,3,4,5,...)中的项位于第1层，即底层；某一层的一项的组成部分就是下一层的项
a的高层项、a的低层项：组成a这个项内部的项、以a为项的一部分的项
k层尾项：是“第k层的末尾的项”的缩写，末项为1层尾项；指定了第k-1层的一项后，它里面的末项就是这个第k-1层项的k层尾项
自然数：1=(0)、2=(0,1)、3=(0,1,2)、...，2'=0,1、3'=0,1,2、4'=0,1,2,3、...，用来简写FOSnn的表达式
去核：
LCMNPC(a)：对a的每个项取祖先树，假设是一个个单独的表达式，可能存在一些非标准式；末项在a中项序号最大的“非标准式”的末项祖先链，定义为a的极链位最大项非标准祖先链，简称LCMNPC(a)
去核映射f₀：取一个映射f : a的父项的高层项→a的高层项，满足 f(x)在f(y)左侧当且仅当x在y左侧、f(x)是f(y)的父项当且仅当x是y的父项、f(x)的值=x的值；然后取[f(a的父项的所有高层项)在a中的补集]中反向字典序最大的映射f₀
a的(标准)去核：在a中把f₀的值域对应项全部删掉除了(非f₀值域的项的祖先链)，删除后需把表达式转为标准式；如果不存在这样的f，则将父项改为父项的孤立项重复此步骤；如果仍不存在这样的f，则“不能去核”【注：这只是单次的去核】
a的去皮：用去皮映射f₁做去核操作，其中f₁是[f(a的父项的所有高层项)组成的集合]中反向字典序最大的映射，f依然是去核映射中提及的f
a的非标准去核判定：如果LCMNPC(a)能被标准化，那么找到a的父项，对其的最右边的与(标准化后的LCMNPC(a))相等的项做指明伪展，直到LCMNPC(a的父项)与LCMNPC(a)相同。如果上述步骤能全部完成，则需要对a做非标准去核，否则不需要
a的非标准去核：强行对a做“标准化”(这会改变a的大小)，然后对其去核
a的孤立项：对于一个特定的表达式，将其中a之后的项删掉，得到的剩余表达式在展开前对a做的指定次数的去核【这里可能是多次去核】
去核相关概念：
a对b的还核：要事先知道a的去核和驻项，利用这两个信息，使得：(a对b的还核)的父项是b，且去核与驻项 和原本a的相同
a的夹项：a的去核在a中的补集
a的支项：a中位于f₀最大序号项之右的项
a的驻项：a的表达式在(a的夹项)之左的项
末链项：展开时由坏根复制出来的项（末项是第一个末链项）
标准基本列：去掉末项为[0]，此后每增加一个复制单元，[ ]的值加1
找坏根：
①: 如果末项的2层尾项是0，则在底层中找到末项的前驱（即末项删掉这个0），找到的项为坏根
②: 否则找到一个最小的p，使序列中至少存在一项β和自然数f，末项的p次去核的基本列的第f项，是β的q次去核；找到这个p之后，β就是坏根(如果有多个则取最靠右的)，f就是基本列的项序号，末项的p次去核定义为E序列
③: 如果②中找不到坏根，则进行下列子步骤，当前一个子步找不到坏根时，进行下一子步，直到找到坏根：
(1)还原序列，把1层尾项的所有支项做去核，然后进行步骤②
(2)还原序列，把1层尾项的所有支项中的2层尾项的所有支项做去核，然后把1层尾项的所有支项做去核，再进行步骤②
(3)还原序列，把1层尾项的所有支项中的2层尾项的所有支项中的3层尾项的所有支项做去核，然后把1层尾项的所有支项中的2层尾项的所有支项做去核，再把1层尾项的所有支项做去核，接着进行步骤②
以此类推。记找到坏根时，进行过的子步骤最大序号为c-1
末链项的展开
如果末项是后继序数，按PrSS，其他项的展开是直接复制
否则如果末项的父项是末项的基本列第f项，则第n个末链项展开为基本列第f+n项
否则：
记住末项的每一层的去核和驻项，在展开的第n个末链项中，它的驻项(它在前面的复制单元中的自己的父项都是已知的)都与末项相同(即在复制前后不变)，去核则取自E[f+n^r]序列，这唯一确定了一个序数
r：在c层尾项内，如果c+1层尾项是后继序数，且c+1层尾项的坏根的左边那一项 不是这个坏根的父项，那么r=0，否则r=1
其他项的展开
确定坏部中每一项的每一层的每一次(要去核到坏根)的去核和驻项，展开式中第n个坏部的对应项，它的驻项和去核也在复制前后不变，除了驻项提升
提升：
把任意找到的一层的(某一 r-1次去核的父项在坏根或之后 的项的r次去核)、(末项的p次去核)，分别记作“待项”和“终点”
驻项提升：把待项内的驻项找到，把这个驻项放在终点中，所有被放到终点的坏部内的这些驻项，需要在展开时提升—在第n个复制单元中，从驻项的位置向后移动(末项坏部长度×n)项，经过的项都是驻项，这些驻项被称为提升驻项。在待项内的提升驻项兼末项的祖先中，如果后一项的某个基本列是前一项，那么前一项的子项随着驻项的提升被移动，否则前一项的子项随着驻项的提升而被复制；这些子项应使用对其父项的还核进行还原展开。
标准化
在按上述步骤得到展开式后，可能出现非标准式，要将其标准化
标准化过程：(仅用于FOS展开中会出现的非标准式)
找到所有有多个直子项的项，这些直子项的子项树的字典序必须递减(或不变)，否则删掉小的子项树
对于一个非标准式a，取LCMNPC(a)记为c
先将c标准化：对于递增序列c，对c做[1]展开，记跨标差为c[1]的原末项与坏根的去皮；将非标准式的所有项对跨标差去皮(如果不能去皮则改为0)，再从左往右删去多余的连续的0，得到的序列记为s。用s代替c，重复上述步骤，直到展开s不能得到c时，此时的c即为所求标准式
再将a中非c项标准化：以除坏根外坏部项为祖先的项都需要(先在c标准化前去核，然后根据因标准化而删掉的项的数量变化找到父项来还核)，其他的项不变；如果a中存在一些非c项不再能找到父项，则原始表达式是标准的
注意：此处的标准化可能会改变序数的大小