BOS

BOS是qwerty创造的序数记号, 2024.3.24

定义

1.空序列等于0，即(Ø)=0

2.所有合法的非空序列必须以1开头，(1)=1

3.对于任意合法的非空序列(#)，(#,1)=(#)+1

4.对于任意合法的不以1结尾非空序列，都可以找到坏根并进行展开，序列的展开有无穷多项

5.对于任意合法的不以1结尾非空序列所代表的序数，都存在标准基本列，设该序列一共有m项，坏根是序列的倒数第n项，则该序列所代表的序数的标准基本列的第k项是序列展开的前m+(k-1)(n-1)-1项所组成的序列所代表的序数

6.展开一个序列时，找到序列中所有比最后一项(记为x_j)小的项中最靠后的一项(记为x_i)，如果x_i恰好是x_j的标准基本列中的一项，则称x_i是这个序列的坏根，x_i到x_j之间的所有项(不包括x_i和x_j)是这个序列的坏部(坏部可以是空序列)，用“G”表示去除x_j的原序列，用“B”表示这个序列的坏部，用“&”表示简单拼接(如(1,ω,ω^2)&(ω,ω^2)=(1,ω,ω^2,ω,ω^2)，(1,ω,ω^ω,ω)&(Ø)=(1,ω,ω^ω,ω))，

若x_j=x_i×ω，则该序列的展开为G&x_i&B&x_i&B&x_i&B&……；若x_j≠x_i×ω，则设x_i是x_j的标准基本列的第n项，用x_j[m]表示x_j的标准基本列的第m项，则该序列的展开为G&x_j[n+1]&B&x_j[n+2]&B&x_j[n+3]&B&x_j[n+4]&B&……如果x_i不是x_j的标准基本列中的一项，则对x_j进行去核操作

7.(1)和(1,ω)是平滑序列，在序列中由平滑序列表示的项称为平滑项，所有项都不大于自己后面的任何项的序列称为准平滑序列，所有项都为平滑项的准平滑序列称为平滑序列

8.我们将以下操作称为顺序排列：先把项写成序列形式，然后找出序列中所有比后面所有项都小的项并进行标记，如果序列结尾存在多个相同的项，则将所有相同的项都进行标记，标记完成后将该项暂时替换为由该序列中所有被标记的项拼接组成的序列

特殊情况：如果被标记的项中的两项恰好是其中间某一项(记为x_i)的标准基本列的连续两项，则将序列中所有在x_i标准基本列上的项进行如下操作(用x_i[n]表示x_i的标准基本列的第n项)：将x_i[n](n>1)暂时变为x_i[n-1]，将x_i[1]暂时删除(展开完成后将x_i[n-1]重新变成x_i[n]，并恢复被删除的x_i[1])；如果特殊情况在一个序列中多次出现，则重复进行多次操作

9.对一个序列的最后一项(记为x_j)进行去核操作时，先将序列进行顺序排列，然后对所有被标记的项进行顺序排列，直到得到平滑序列为止(注：需要确保序列为准平滑序列才能对序列中的项进行顺序排列，需要确保序列前面所有项均为平滑项才能对后面的项进行顺序排列)，去核完成后按照规则6进行展开，展开后得到一个新的序列，用新的序列替换去核时被标记的项作为原序列的展开(如果原序列的某一项的项数比对应的新序列的项的项数多，则删除原序列后面的项使其项数与对应的新序列的项的项数相同；如果原序列的某一项的项数比对应的新序列的项的项数少，则将原序列的那一项的最后一项复制并添加到原序列的那一项的后面使其项数与对应的新序列的项的项数相同，被标记和未被标记的项均与原序列的那一项的最后一项相同)，位置和排列顺序均与原序列相同，如果用h(x)表示以替换被标记的项的新序列代表的序数为自变量，以对应的原序列展开序数为因变量的函数，h(x_1,x_2,x_3,……,x_n)=h(x_1),h(x_2),h(x_3),……,h(x_n)，设新序列为x_1,x_2,x_3,x_4,……，用“G”表示去除x_j的原序列，用“B”表示这个序列的坏部，用“&”表示简单拼接，则原序列的展开为G&h(x_j)&h(B)&h(h(x_j))&h(h(B))&h(h(h(x_j)))&h(h(h(B)))&……

特殊情况：如果一个序列中结尾的项(在序列的第a项)与中间某一项(在序列的第b项)相同，它们中间的一项(记为x_i)比它们小且不是它们标准基本列的一项，最靠后的比x_i小的项(记为x_c)在序列的第c项，则展开时将序列的第a-b+c项看成x_c展开