美元记号

美元记号是由 Wythagoras 于 2013 年提出的记号。美元记号是第一个以类似于Hardy 层次结构和 Hydra 模式工作的记号。因此，它具有一定的历史意义。

美元记号由如下五个部分组成：括号记号 (Bracket notation)、扩展括号记号 (Extended Bracket notation)、线性数阵记号 (Linear Array Notation)、维度数阵记号 (Dimensional Array Notation)、嵌套数阵记号 (Nested Array Notation)。更进一步的记号包括：超级嵌套记号 (Hyper Nested Array Notation)、团状嵌套记号 (Legion Nested Array Notation)。不过上述两个记号尚没有合适的定义。

定义

括号记号

这一部分仅使用了普通括号。它的原理与 Hardy 层次和 Kirby-Paris Hydra 非常相似。

其定义可以用自然语言陈述如下：

首先从右向左开始扫描。从末尾开始。如果 $ 后面没有任何内容，则数阵的值就是 $ 的数字。否则，继续扫描，直到找到一对括号内的数字。该数字是活动数字。如果遇到级别，也扫描级别。如果基础级别上有一个数字，则将其添加到 $ 之前的数字。如果活动数字大于零，则会生成一个括号，其中活动数字减一。如果活动数字为零，如果它不是括号的唯一内容，则可以删除零。如果它没有级别（级别 1），则具有活动数字的活动括号变为 a。

下面给出形式化的定义：

从右向左扫描，直到找到一个数字。该数字是活动数字，如果遇到它们，也请按级别扫描。• 可以是任何值（此时要求定义明确）。

a$ = a
a$ • b = a + b$•
[•b]•2 = [•b − 1]•2[•b − 1]•2 · · · [•b − 1]•2[•b − 1]•2 ，带有一对括号
如果 • 不为空，则 •0 = •
[0] = a

注意：没有级别的括号有 1 级。

这一部分的极限为 $a $ [[. . . [[0]] . . .]] \sim ε_{0} .$

扩展括号记号

其规则可以用自然语言叙述如下。

从右向左开始扫描。从末尾开始。

如果 $ 后没有任何内容，则数阵的值就是 $ 的数字。否则，继续扫描，直到找到一对括号内的数字。该数字是活动数字。如果遇到级别，也请扫描级别。

如果在基础级别上有一个数字，请将其添加到 $ 之前的数字。如果活动数字大于零，则会产生一个括号，其中活动数字减一。

如果活动数字为零：如果它不是括号的唯一内容，则可以删除零。如果它没有级别（级别 1），则具有活动数字的活动括号变为 a。如果其级别的第一个项包含非嵌套数字，并且其级别为 •b，则找到包含活动括号的最近的括号，其级别为 •b−1 且只有一个项。删除活动括号，并将其替换为 a−1 个包含 •b−1级的括号副本，包括内容。（总共有 a 个 •b − 1 级的括号）。在第一个活动括号所在的间隙处，放置一个 [0]。如果没有，请添加它，找到最近的具有较低级别的括号并将其直接添加到其中。从右向左扫描，直到找到一个数字。该数字是活动数字，如果遇到它们，也请逐级扫描。

• 可以是任何值（此时其定义明确）。

a$ = a
a$ • b = a + b$•
[•b]•2 = [•b − 1•2[•b − 1]•2 . . . [•b − 1]•2[•b − 1]•2，带有一对括号
如果 • 不为空，则 •0 = •。
[0] = a。
[[0]•b•2]•b−1 = [[[[ . . . [[0]•2]•b−1 . . . •2]•b−1 •2]•b−1 •2]•b−1 •2]•b−1 总共包含 a + 1 对括号，如果没有级别为 •b − 1 的括号，则添加该括号，找到级别较低的最近括号并将其直接添加到其中。

注意：没有级别的括号有 1 级。

我们有 $[[0]_{[0]_{2}} \sim ψ (Ω_{Ω})$