序数尺

序数记号的序数尺，是一种将该记号极限之下的序数保序映射到实数轴的方法。

定义

以下提供一个序数尺的定义，序数尺将给定的序数记号S所刻画的序数映射到了实数区间(0,1)上。或者更准确地说，映射到了该实数区间的有理点的一小部分上.记作记作f(序数记号表达式)=实数。

记S的极限为L，$\alpha [n]$为$\alpha$的基本列第n项.基本列从1开始数。特别的，对于后继序数，我们定义其基本列只有一项，就是它的前驱。

定义操作序列：任取$\beta$为小于L的序数，若$\beta =L[a_1][a_2]\cdots [a_i]$，则这样的$a_1,a_2,\cdots ,a_i$为$\beta$的待定操作序列。所有待定操作序列中，i最小的，且字典序最小的为$\beta$的操作序列。

接下来，对于$\beta$,记其操作序列为$a_1,a_2,\cdots ,a_i$，我们便得到$f(\beta )=0.\underset{a_1-1}{\underbrace{1\cdots 1}}0\underset{a_2-1}{\underbrace{1\cdots 1}}0\underset{a_3-1}{\underbrace{1\cdots 1}}\cdots \cdots 0\underset{a_n-1}{\underbrace{1\cdots 1}}$,其中右边为二进制小数。

应用

序数尺还可以帮助我们理解一些其他的概念。例如，我们经常会认为某些序数更“整”一些，换句话说就是处在记号枚举中比较重要的节点之上。这样一种“整度”的概念就可以借助序数尺来进行讨论。类似地，我们主观上会觉得某两个序数之间的“距离”要大一些，而另外两个序数的“距离”要更小一些。这种感觉也同样可以借助序数尺来进行说明。

已有研究者编写程序对序数尺进行了可视化。比如一个序数树，一个至${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$的序数尺，一个至EBO的序数尺，一个至QSSO的序数尺。