对角化

对角化是大数数学中的一个重要概念。

定义

考虑一件事情：假设我们现在拥有了一系列函数 $f_{n} (x), n \in ℕ$ ,满足如果 $a < b$ ，则 $f_{a} (x)$ 慢于 $f_{b} (x)$ .

那么，我们要如何得到一个增长速度更快，以至于快于上面任意一个函数的新函数呢？

事实上，我们只需要把这些函数写成一个矩阵：

$\begin{matrix} f_{0} (0) & f_{0} (1) & f_{0} (2) & f_{0} (3) & \dots \\ f_{1} (0) & f_{1} (1) & f_{1} (2) & f_{1} (3) & \dots \\ f_{2} (0) & f_{2} (1) & f_{2} (2) & f_{2} (3) & \dots \\ f_{3} (0) & f_{3} (1) & f_{3} (2) & f_{3} (3) & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}$

然后，我们取这个矩阵的对角线作为一个新的函数：

$f_{0} (0) f_{1} (1) f_{2} (2) f_{3} (3) \dots$

很容易发现，这个函数的增长速度快于任意的 $f_{n} (x)$ ，因为无论n有多大，当x＞n时，这个新函数都将超过它。

因为是取对角线的操作，所以称为对角化，