ZFC公理体系

ZFC 公理体系（Zermelo-Fraenkel-Choice Axiom），是应用最为广泛的集合论体系。在 Googology 中有着强大的证明论序数。

定义

我们采用以下的 9 条公理、公理模式作为我们所使用的 ZFC 公理体系．

外延公理：两个集合 $A, B$ 相等，当且仅当任意 $x$ ，有 $x \in A$ 等价于 $x \in B$ ．
配对公理：对于任意两个集合 $A, B$ ，有 ${A, B}$ 是一个集合．
分离公理模式：对于任意集合 $S$ 和带 $n + 1$ 个参数的公式 $φ (x, p_{0}, p_{1}, \dots, p_{n})$ ，有 ${x \in S ∣ φ (x, p_{0}, p_{1}, \dots, p_{n})}$ 是一个集合．
并集公理：对于一个集合 $S$ ，存在一个集合 $U$ 使得对任意 $x \in S$ 和任意 $y \in x$ ，有 $y \in U$ ．
幂集公理：对于任意一个集合 $S$ ，存在一个集合 $U$ 使得 $A \subseteq S$ 等价于 $A \in U$ ．
正则公理：任意一个非空集合 $S$ 上都存在 $\in$ 链最小元，或者换句话说，存在 $x \in S$ 使得 $x \cap S = \emptyset$ ．
替换公理模式：对于任意一个集合 $S$ ，如果存在一个函数 $f : S \to U$ ，则 $f (S)$ 是一个集合．
无穷公理：存在一个集合 $S$ 使得空集是 $S$ 的元素，且对于任意 $x \in S$ 有 $x \cup {x} \in S$ ．
选择公理：对于一族两两不相交的非空集 ${U_{i} ∣ i \in I}$ ，存在集合 $S$ 使得对任意 $i \in I$ 有 $S \cap U_{i}$ 是单点集．这里对脚标集 $I$ 没有要求（可以是不可数集）．

我们将去掉选择公理的公理体系称为 ZF；将去掉选择公理和正则公理的公理体系称为 ZF-REG；将去掉选择公理和无穷公理的公理体系称为 ZF-INF；将去掉选择公理和替换公理模式的公理体系称为 Z。

ZFC 中的公理之间存在着一定的关系，例如，第 7 条替换公理模式可推第 3 条分离公理模式．

集合操作

下面我们将给出一些 ZFC 允许的基本集论操作。

并集

并集用符号 $\cup$ 表述。

我们允许任意有穷多集合取并（本质就是将它们纳入一个集合让后对这个集合取它的并集），对于无穷多集合取并，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成。

交集

交集用符号 $\cap$ 表述。

我们允许任意有穷多集合取交（利用分离公理模式），对于无穷多集合取交，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成。

补集及差集

一个集合 $A$ 关于另一个包含 $A$ 作为子集的集合 $S$ 的补集，即为 $B = {x \in S ∣ x \notin A}$ ，通过分离公理可以得到。

笛卡尔积

一个集合 $A$ 和一个集合 $B$ 的笛卡尔积 $A \times B$ 被定义为一个新的集合 $S = {(a, b) ∣ a \in A \land b \in B}$ 。

$(a, b)$ 称作有序对，一个有序对 $(a, b)$ 满足 $(a, b) = (c, d)$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ ， $(a, b)$ 也可以被集论语言描述为 ${a, {a, b}}$ ，因此， $A \times B$ 这个笛卡尔积也可以被描述为 $A$ 与 $B$ 的并集取两次幂集之后通过分离公理得到的一个特殊的子集。

$n$ 多元的多元组被描述为以下形式：

二元： $(a, b)$ ，等价于有序对
三元： $(a, b, c) = ((a, b), c)$
四元： $(a, b, c, d) = (((a, b), c), d)$
...

以此类推。

任意有限多集合的笛卡尔积都存在且非空，通过选择公理，我们可以保证，无穷多集合的笛卡尔积也是非空的。 $A^{n}$ 表示 $n$ 个 $A$ 自行相乘得到的笛卡尔积，我们也称呼 $A \times B$ 的一个子集是在 $A$ 和 $B$ 上的一个关系，称 $A^{n}$ 的一个子集是在 $A$ 上的一个 $𝐧$ 元关系。

根据笛卡尔积的概念，我们提出了 $n$ 元关系 $R$ 的定义域与值域，分别记为 $range (R)$ 与 $domain (R)$ ，简称 $rng (R)$ 与 $dom (R)$ 。

若 $A$ 是一个 $n + 1$ 元关系， $dom (A)$ 是全体前 $n$ 元所构成的集合， $rng (A)$ 是全体最后一元构成的集合，用函数的语言描述就是从作为集合形式的函数上挖掘出了定义域和值域。

函数

函数被我们定义为一种特殊的 $n$ 元关系。