MMS

变异矩阵系统（Mutant Martix System，MMS）最初是 Aarex 于 2023 年提出的记号，它是 BMS 的一个强大的推广。后来其规则经过多次的调整和完善，目前使用的是 HypCos 的 MM3（Mutant Martix 3）。我们下面对其规则进行简要的介绍。

定义

MM3 是以矩阵形式表达的表达式，每个元素具有表观行标和内在行标。以下陈述中，“左”的列标比“右”小，“上”的行标比“下”小。

• 表观行标：一个元素的表观行标就是它写在表达式中的一列的第几个元素，它是正整数。
• 内在行标：内在行标是序数。表观行标为 1 的元素，内在行标也为 1。对于表观行标大于 1 的元素 x，找到它上方最近的不等于 x 的元素 y，x 与 y 的表观行标差为 n，那么 x 的内在行标是 (y 的内在行标)+ωⁿ⁻¹。
• 待定父元：内在行标为 1 的元素，它的待定父元是它向左一格。对于内在行标大于 1 的元素 x，先向左走到 x 上方元素的父元所在列，找到该列之中满足“内在行标小于等于 x 之内在行标，而且值大于等于 x − 1”的最下元素，它就是 x 的待定父元。
• 父元：从一个元素 x 出发，不断取待定父元的待定父元……的待定父元，直到初次遇到等于 x − 1 的元素为止，它就是 x 的父元。
• 祖先：祖先元素是父关系的自反传递闭包。也就是包括自身、父元、父元的父元、父元的父元的父元、……。
• 待定根元素：从 LNZ 出发。向左或向左上走到最近的等于 LNZ−1 的祖先元素，该元素成为待定根元素。向上一格（表观行标减 1）。重复以上两步，直到表观行标到达 0，无法再取任何元素为止。
• 根元素：计数每一列的待定根元素，去掉零值，并记作这些数值是从哪一列来的。最左边添加一个“1”，得到提取序列。提取序列按照 PrSS 规则找根元素，这个根元素向右一格，回到原矩阵中对应的列，该列最上的待定根元素，就是真正的根元素。
• 减一操作：展开一轮的第一步是将最右列“减一”。具体操作是，把待定根元素及其下方的所有元素复制到最右列，列标与内在行标平移，使得待定根元素恰好复制到（取代掉）LNZ 的位置。
• 根列元素：待定根元素及其上方同列的所有元素，每个都是“根列元素”。注意，不包括待定根元素下方的元素。
• magma 元素：每个根列元素都对应一些 magma 元素。从该根列元素出发，所有内在行标与之相等的后代元素（与祖先相对），就是该根列元素对应的 magma 元素。
• 参考元素：最右列的元素 x 是参考元素。x 要对应到内在行标小于（x 下方一格的元素的内在行标）的最下根列元素。
• 延伸：这是展开一轮的第二步。将减一之前的表达式中，根列右方（不含根列，包括减一前的最右列）的元素一列一列地复制出来。每一列从上到下复制。一个源元素复制时可能有值的提升、行标的提升。所有提升由本列最近一次经过的 magma 元素，以及它对应的根列元素对应的最下参考元素，二者决定。magma 元素复制时可能产生多个复制品。它对应的根列元素对应的参考元素可能有多个，每个产生一个复制品。

分析

主词条：MM3 vs ω-Y