DPAN

标点区分数阵（Distinguishing Punctuation Array Notation），是318`4在2024年3月30日创造的序数记号。在这个记号里，半角符号和全角符号表达了不同的的含义，将严重打击写数学算式用全角括号逗号的人。

1.概念

因为网上常常见到写数学算式、代数式时，使用占用空间极其巨大的全角符号（主要是逗号和括号），比如向量数量积的矩阵形式，本来很优美的𝒂·𝒃=𝒂ᵀ𝒃，(a,b)ᵀ·(c,d)ᵀ=(a,b)(c,d)ᵀ，经过他们的手，就变成了又臭又长的（ａ，ｂ）＾Ｔㆍ（ｃ，ｄ）＾Ｔ＝（ａ，ｂ）（ｃ，ｄ）＾Ｔ；googology界有一个梗，“切，这才哪到哪”，全文如下：

切，这才哪到哪（１，１，１，１）（２，１，１，１）（３，１，１，１）（３，１，１，０）（２，０，０，０）【ＢＭＳ分析极限】＝ＬａｍｂｄａＡｌｐｈａ．（ＳＩＧＭＡ２－Ｔａｕ【Ａｌｐｈａ】＋１－ｏ－ＳＩＧＭＡ２－ｓｔａｂｌｅ【Ａｌｐｈａ】✕（ＳＩＧＭＡ２－Ｔａｕ【Ａｌｐｈａ】＋１－ｏ－ＳＩＧＭＡ２－ｓｔａｂｌｅ【Ａｌｐｈａ】✕（ＳＩＧＭＡ２－Ｔａｕ【Ａｌｐｈａ】＋１－ｏ－ＳＩＧＭＡ２－ｓｔａｂｌｅ【Ａｌｐｈａ】✕ Ａｌｐｈａ）））－ＰＩ０【０】

它还有更正常的版本，是这样的：

切，这才哪到哪(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1,1)(3,1,1)(2){BMS分析极限}=λα.(Σ₂-τ[α]+1-o-Σ₂-stb[α]×(Σ₂-τ[α]+1-o-Σ₂-stb[α]×(Σ₂-τ[α]+1-o-Σ₂-stb[α]×α)))-Π₀[0]

DPAN突出了这一现象。DPAN最大的特征就是半角括号“()”和全角括号“（）”含义不同，半角逗号“,”和全角逗号“，”的含义也不同，这样下来，如果还不区分半角/全角符号，就没法正确表达出内容了。同时，DPAN的极限是BMS(0)(1,1)(2,2)(3)。

2.定义

DPAN使用和SAN类似的规则+流程定义（因为我也只会这一种严谨定义array notation的方法），但DPAN是基本列定义的序数记号，没有SAN那样的输出自然数的底层外壳。

规则：

（0）是序数0

（&n+1）是后继序数，表达（&n）的后继

极限表达式为（1(1,0,0,...,0,0,0)0），其中中间有任意多个半角逗号和0

在定义中约定，&是以数字开头的，能从极限展开得到的任意表达式的任意一部分，#是以数字结尾的，能从极限展开得到的任意表达式的任意一部分

如果一对括号的紧挨左侧是0，则将这个0、这对括号及其内容删除

如果正括号的紧挨右侧是0，则将这个0和它右边的括号对，或分隔符删除 如果存在一对“（）”，则将它及其右边的数字删除

流程：

当所有规则都不适用时，进入流程。从整个表达式末尾开始，逐步向左边找数字，直到找到一个非0数，将它记作a+1（a+1专指找到的数，其他等于a+1的数不能由a+1指代），看向a+1的右边

①如果a+1的右边是“）”，记a+1所在括号及其两边数字为n+1（&a+1）0

这个表达式展开为n（&a+1）ω（&a）0

②如果a+1的右边是“，”，记a+1所在全角括号及其两边数字为n+1（&a+1，0#）0

这个表达式展开为n（&a+1，0#）1R[ω]0，其中R[0]=（1），R[n+1]=（&a，1R[n]0#）

如果a+1所在全角括号的两边没有数字，则展开式为上式中的R[ω]

③如果a+1的右边是“)”，记a+1所在全角括号及其两边数字为n+1（&'r+1(&a+1)0#）0

这个表达式展开为n（&'r+1(&a+1)0#）1R[ω]0，其中R[0]=（1），R[n+1]=（&'r(&a+1)1R[n]0(&a)0#）

如果在展开后出现了(1)，则用全角逗号代替它

如果a+1所在全角括号的两边没有数字，则展开式为上式中的R[ω]

④如果a+1的右边是“,”，记a+1所在全角括号及其两边数字为n+1（&'r+1(&a+1,0#)0#​'）0

这个表达式展开为n（&'r+1(&a+1,0#)0#'）1（&'r(&a+1,0#)1(&a,1R[ω]0#)0#'）0，其中R[0]=（1），R[n+1]=(1R[n]0#)

如果a+1所在全角括号的两边没有数字，则展开式为（&'r(&a+1,0#)1(&a,1R[ω]0#)0#'），其中R[0]=（1），R[n+1]=(1R[n]0#)

在上述步骤结束后，再次对得到的表达式应用所有规则，直到所有规则都不适用为止。

此时，所有表达式都已展开为有且仅有一个“ω”的形式，可以把整个表达式记作f(ω)，则表达式这个序数的基本列第n项为f(n)

3.扽西

DPAN的极限为BMS(0)(1,1)(2,2)(3)，因为这个序数在FOS中有一定的意义（主要是嵌套不动点分析上的意义），有和ω-Y比较类似的多维结构，所以称作Multidimensional Ordinal。Multidimensional Ordinal是一系列数字等级命名的序数，1级的Multidimensional Ordinal已经用在和ω-Y类似的Θ(φ(ω,0))上了，于是0 11 22 3只能得到0级的，即None-Multidimensional Ordinal，并有一个似乎能蕴含其他含义的简称NMDO。

4.解读

（n）就是自然数n，（1（1）0）按流程①展开为（0（1）n）=（n），也就是ω。

应用①的情况都是比较简单的，（2（1）0）=（1（1）n），即ω2；（2（2）0）=（1（2）n（1）0）。在只有两层全角括号时，m（k）0基本代表ω^k×m。这和ω进制阵比较相似，除了底层的规则不一样，用1（k）0表示了ω进制阵的第k项。

实际上，DPAN在（1，0）之前都是用ω进制阵的扩展方式扩展的。ω^ω是（1（1（1）0）0），展开为（1（n）0）；类似地，ω^ω^ω是（1（1（1（1）0）0）0），这样嵌套的极限是ε₀。

（1，0），这是第一个需要用②展开的情况。规则中的“（&a+1，0#）”，在（0，1）的情况是&与#​均为空，a=0，展开为R[ω]，R[n+1]=（0，1R[n]0）=（1R[n]0）,于是它展开为（1（1（1（1（...）0）0）0）0）这样的无穷嵌套形式，即ε₀。

ε₀2是（1，1（1，0）0），因为（2，0）中2要找外层括号展开，所以会出现（1，1（1，1（1，1（...）0）0）0）这样的嵌套，以此达到ε₁。

后面的情况就相对简单了，（1（1）0，0）是ε_ω，（1（1，0）0，0）是ε_ε₀，（1（1（1，0）0，0）0，0）是ε_ε_ε₀，这个嵌套极限是ζ₀。

从ζ₀开始，半角括号出现了。全角逗号可以直接视作等价于(1)，它和所有(&a+1)一样，用来表示不动点。（1(2)0），应用③，“（&'r+1(&a+1)0#）”中&'=&=#​=空，a=1，r=0，于是展开成（&'r(&a+1)1R0(&a)0#）=（0(2)1R0(1)0）=（1R0，0），这里我用R来表示嵌套不动点，（1R0，0）就是（1（1（1（...）0，0），0），0）的无限嵌套，它就是ζ₀。

（2(2)0）自然就是（1(2)1R0，0），在它之下，（1(2)1（1(2)0）0，0）是ε_(ζ₀2)，所以（2(2)0）=ζ₁。

全角逗号描述ε点，(2)描述ζ点，后面就很明确了，(n)就是φ(n, )点，这样就可以很快到达（1(1（1）0)0）=φ(ω,0)，（1(1（1，0）0)0）=φ(ε₀,0)，等。

接下来看（1(1，0)0），它需要应用②，但是注意，②要求找到a+1所在的全角括号，找到半角括号没用，所以最外面的括号才是要找的，（1(1，0)0）=（1(1R0)0），即（1(1（1(1（1(1（...）0)0）)0）)0）的无限嵌套，这是Г₀。

（2(1，0)0）也是类似的，要找最外层的括号，会出现（1(1，0)1（1(1，0)0）0）这样的表达式，它等于φ(Г₀,1)，（2(1，0)0）则是Г₁。

从这里开始，后面就都比较明确了，（1(1，1)0）是φ(1,1,0)，（1(2，0)0）是φ(2,0,0)，（1(1(2)0)0）是φ(1,0,0,0)，（1(1(1，0)0)0）是LVO，半角括号的嵌套，和OCF内Ω指数塔的嵌套类似。

下一步就是半角逗号了，半角逗号只能出现在半角括号的里面，否则表达式不合法。（1(1,0)0），要用最复杂但最削弱的流程④，（&'r+1(&a+1,0#)0#​'）中r=a=0，&'=&=#'=#​=空，展开为（0(1,0)1(0,1R0)0）=（1(1R0)0），但这里R是半角括号的嵌套了，即（1(1(1(1(...)0)0)0)0），等于BHO。

（1(2,0)0）展开为（1(1,1(1,1(1,...)0)0)0）。

接下来要迎接两个大弱化：

（1(1,1(1,0)0)0）中，由于流程④的嵌套只涉及半角括号，它只能展开为（1(1,1(1(1(1(...)0)0)0)0)0），这只是ψ(ε_(Ω+1)^2)。（理想情况下让它找到全角括号内最外侧的半角括号，完全可以得到ψ(ε_(Ω+2))，但我就是要让他弱化的）。

因为（1(1,0,0)0）展开成（1(1(1(...)0,0)0,0)0）而每一层半角括号里半角逗号左边的位置都可以放全角逗号，即（1(1，0,0)0）、（1(1(1，0,0)0,0)0）这样，所以（1(1,0,0)0）依然能够达到ψ(ε_(Ω+2))

最大的弱化来了：（1(1,1,0)0），按④，（&'r+1(&a+1,0#)0#​'）中r=a=0，&'=#'=#​=空，&是“1,”不为空。看向展开式，（&'r(&a+1,0#)1(&a,1R0#​)0#'）=（0(1,0)1(&0,1R0)0）=（1(1,0,1R0)0）。R是什么呢？R[0]=（1）没什么特别的，R[n+1]=(1R[n]0#)，前面的左半角括号的右边都有&，但这个没有了！所以R是(1(1(...)0)0)，整个展开式是（1(1,0,1(1(1(...)0)0))0），只有ψ(ε_(Ω+2)×ε_(Ω+1))。

这样下来，（1(2,0,0)0）=（1(1,1(1,1(...)0,0)0,0)0）才有ψ(ε_(Ω+2)^2)，才能使（1(1,0,0,0)0）=ψ(ε_(Ω+3))。（不然的话，（1(2,0,0)0）都有ψ(ε_(Ω2))了）

在两个弱化的共同作用下，DPAN的极限来到ψ(ε_(Ω+ω))=(0)(1,1)(2,2)(3)。一旦缺少一个弱化，记号就会一不小心达到ψ(Ω₂^ω)，就不再以NMDO做极限了。

除了极限是NMDO，还有很多刻意设计的地方。比如所有的全角符号都比半角的强，半角括号承担了底层和基本分隔符两个功能，等等。

（1（1，0）1，0）=ε_ε₀，（1(1，0)1，0）=ε_(Г₀+1)，（1（1,0）1，0）不合法，（1(1,0)1，0）=BHO的下一个ε点；如果不区分全角和半角，这样的表达式将无法描述。

DPAN没有强度，没有创新，没有googology意义。

本文到这里就结束了。DPAN以娱乐性为主，请勿较真！