-2-Y

-2-Y 是一种 Worm 型序数记号。

定义

合法式

一个合法的 -2-Y 表达式是形如 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)$，且满足 $n,s_1,s_2,\cdots ,s_n\in \mathbb{\mathbb{N}},s_1=1$ 的序列（特别地，空序列 $()$ 是合法的 -2-Y 表达式）。

-2-Y 的极限基本列是 (1,1), (1,2), (1,3), ...

例：

• $(1,3,3)$ 是一个合法的 -2-Y 表达式
• $(\mathrm{\Omega },1,2)$ 不是一个合法的 -2-Y 表达式，因为 $\mathrm{\Omega }\notin \mathbb{\mathbb{N}}$
• $(1,9)$ 是一个合法的 -2-Y 表达式

结构

合法的 -2-Y 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

• 零表达式：满足 $n=0$ 的表达式，即空序列 $()$
• 后继表达式：满足 $n>0$ 且 $s_n=1$ 的表达式，例如 $(1,3,1)$
• 极限表达式：满足 $n>0$ 且 $s_n>1$ 的表达式，例如 $(1,3,2)$

展开

对于一个合法的 -2-Y 表达式 $S=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n)$，其展开规则如下：

• 如果 $S$ 是零表达式，则 $S$ 代表序数 $0$
• 如果 $S$ 是后继表达式，则其前驱是 $S^{\prime }=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1})$
• 如果 $S$ 是极限表达式，则S的基本列第n项S[n]=$(s_1,s_2,\cdots ,s_{n-1},\underset{n\text{个}}{\underbrace{s_n-1,\cdots ,s_n-1}})$

举例：S=1,4,3，则它展开为 1,4,2,2,2,……

强度分析

-2-Y 是一个非常简单的记号，它的极限是 ${\omega }^{\omega }$

$\varnothing =0$

$1=1$

$1,1=2$

$1,1,1=3$

$1,2=\omega$

$1,2,1=\omega +1$

$1,2,1,1=\omega +2$

$1,2,2=\omega \times 2$

$1,2,2,1=\omega \times 2+1$

$1,2,2,2=\omega \times 3$

$1,3={\omega }^2$

$1,3,2={\omega }^2+\omega$

$1,3,2,2={\omega }^2+\omega \times 2$

$1,3,3={\omega }^2\times 2$

$1,4={\omega }^3$

$1,4,4={\omega }^3\times 2$

$1,5={\omega }^4$

$1,6={\omega }^5$

$\text{limit}={\omega }^{\omega }$