非递归BMS

非递归BMS是用BMS结构来表示非递归序数的一个记号。

定义

首列一定是若干的1构成

0和空等价，在列末可以任意添加0而不改变表达式本身大小，如 $(1, 1, 1, 1) (2, 2, 1) (3, 3, 2)$ 等价于 $(1, 1, 1, 1, 0) (2, 2, 1, 0, 0) (3, 3, 2, 0, 0)$

如果末列是 $(1)$ ，则等同于后继

如 $(1, 1, 1) (2, 2) (1) = (1, 1, 1) (2, 2) + 1$

否则，如果LNZ(末列最下非零项)能按照BMS规则找到坏根，则按照BMS规则展开

如 $(1, 1, 1) (2, 2) (3, 3, 1, 1) = (1, 1, 1) (2, 2) (3, 3, 1) (4, 4, 2) (5, 5, 3) \dots$

否则，找不到坏根的情况下，把末列去掉LNZ，并在后面拼接末列全列+1的新列，视为非递归展开。

如 $(1, 1, 1) (2, 2, 1)$ ，变为 $(1, 1, 1) (2, 2) (3, 3, 1, 1, 1, 1, \dots)$ ，并视为非递归展开。

又如 $(1, 1) (2, 2, 1) (3, 1)$ ，变为 $(1, 1) (2, 2, 1) (3) (4, 1, 1, 1, 1, \dots)$ ，并视为非递归展开

可以看出，这个非递归记号和其他的一样，并不能表示极限之下的所有序数。它的表示能力极限是“BMS级别的递归操作”。

十分显然的，如果从严肃数学的角度来说，它依然是不良的。但作为对严谨性要求不算特别高的googologist来说，它的性质(如一个表达式只对应一个序数)已经够用了。