商集

一个集合 $X$ 关于一个在其上的等价关系 $\sim$ 的商集定义如下：

首先，定义 $X$ 上关于一个元素 $x$ 和一个等价关系 $\sim$ 的等价类

$[x]=\{y\in X\mid y\sim x\}$

那么 $X$ 关于 $\sim$ 的商集就是

$X/\sim =\{[x]\mid x\in X\}$

也称这个集合是对 $X$ 的一种划分。

等价的，一种对 $X$ 的划分也定义了 $X$ 上的一个等价关系。

注意到，$X$ 的划分中作为元素的各个等价类是“无交的”，即对于任意 $x,y\in X/\sim$ 且 $x\ne y$，有 $x\cap y=\varnothing$。