不动点

在数学中，函数的不动点（fixed point,fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。

例子

在googology中，我们一般只关心N→N的连续递增函数以及Ord→Ord的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如f(x)=x))，因而只有后者的不动点是重要的。 如 f(x)=1+ω 注意到当x=ω时，f(x)=1+ω=sup{1+0,1+1,1+2,…}=ω。因此ω是f(x)=1+x的不动点。因为不存在x＜ω满足f(x)=x，因此ω是其第一个不动点。当x=ω+1时，f(x)=1+(ω+1)=ω+1，因此ω+1是f(x)=1+x的第二个不动点。

又如f(x)=ω*x 当x=ω^ω时，f(ω^ω)=ω^ω，因此ω^ω是f(x)=ω*x的不动点。而可以验证ω^ω*2是第二个。

注意

在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。 并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。

不动点与基本列

对于Ord→Ord的连续递增函数f(x)且满足f(x)≥x，存在这样一个定理： 如果X是其第m个不动点，则sup{X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),…}是其第m+1个不动点 注意到这实际上提供了一种基本列选取的方法。实际上，著名的序数表示法φ函数的强度就高度依赖于不动点