ZFC公理体系

我们采用以下的9条公理、公理模式作为我们所使用的ZFC公理体系。

1. 外延公理：两个集合 $A,B$ 相等，当且仅当任意x， $x\in A$ 等价于 $x\in B$
2. 配对公理：对于任意两个集合 $A,B$ ， $\{A,B\}$ 是一个集合
   
3. 分离公理模式：对于任意集合 $S$ ，和带 $n$ 个参数的公式 $\varphi (x,p0,p1,p2,p3,\cdots ),\{x\in S:\varphi (x,p0,p1,\cdots )\}$ 是一个集合
4. 并集公理：对于一个集合 $S$ ，存在一个集合 $U$ 使得任意 $x\in S$ ，任意 $y\in x,y\in U$
5. 幂集公理：对于任意一个集合 $S$ ，存在一个集合 $U$ 使得 $A$ 是 $S$ 的子集等价于 $A\in U$
6. 正则公理：任意一个非空集合 $S$ 上都存在 $\in$ 链最小元，或者换句话说，存在 $x\in S$ 使得 $S$ 非空且 $x$ 交 $S$ 为空
7. 替代公理：对于任意一个集合 $S$ ，如果存在一个函数 $f:S\to U$ ，则 $U$ 是一个集合
8. 无穷公理：存在无穷集/存在一个集合 $S$ 使得空集是 $S$ 的元素，且对于任意 $x\in S,x\cup \{x\}\in S$
9. 选择公理：对于任意集合 $S$ ，存在一个选择函数使得 $f(S)\in S$

我们将去掉第9条公理的公理体系称为ZF,将去掉第9条和第6条的公理体系称为ZF-REG，将去掉第九条和第8条的公理体系称为ZF-INF，将去掉第九条和第7条的公理体系称为Z ZFC中的公理之间存在着一定的关系，例如，第7条替代公理模式可推第3条分离公理模式。