基数

基数是一类特殊的序数。

我们称呼两个集合$A,B$拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数 $f:A\to B$

一个序数 $a$ 是一个基数，当且仅当对于任意 $b<a$ ，都不存在函数 $f$ 使得 $f:b\to a$ 是一个一对一函数

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

$|X|\le |Y|$

如果存在一个单射自$X$到$Y$

我们同样可以定义严格序

$|X|<|Y|$

表示 $|X|\le |Y|$ 且 $|X|\ne |Y|$

有限基数和无穷基数/超限基数

我们称呼一个集合$X$的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数$n\in \mathbb{\mathbb{N}}$使得

$|X|=|n|$

此时我们称呼$X$是有$n$个元素的

我们用自然数来定义有限基数

对于任意 $n\in \mathbb{\mathbb{N}},|X|=|n|=n$

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数/超限基数

阿列夫数

若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数

对于任意一个良序集$W$，它的基数就是最小的一个序数$a$使得$|W|=|a|$

序数$\omega$是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。

极限基数和后继基数

我们称一个基数$k$是后继基数，当且仅当存在一个基数$\lambda$，使得$k$是最小的大于$\lambda$的基数，此时也称$k$为$\lambda$的基数后继

我们称一个基数$k$是极限基数，当且仅当，对于任意$\lambda <k$，$\lambda$的基数后继也小于$k$

由此我们定义阿列夫数的递增序列

${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$

${\mathrm{\aleph }}_{a+1}={\omega }_{a+1}={\mathrm{\aleph }}_a$的基数后继

${\mathrm{\aleph }}_a\text{(}a\text{是极限序数)}=sup\{{\omega }_b:b<a\}$

我们称一个基数为${\mathrm{\aleph }}_0$的集合是可数的（countable），一个基数不为${\mathrm{\aleph }}_0$的无穷集合是不可数的（uncountable）