滤子

滤子是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即理想）

我们称对于一个集合S而言，作为P(S)子集的F是S上的一个滤子，当且仅当：

1.∅∉F且S∈F

2.如果A∈F且A是B的子集，那么B∈F

3.如果A，B∈F，则A∩B∈F

这就是滤子的所有要求。

对于一个S上滤子F，如果存在一个S的非空子集C使得任意X∈F而言，C是X的子集，那么我们称F是一个主滤子。反之，则称其是一个非主滤子

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：frechet滤子(余有限滤子)：对于一个无穷集合S,集合F={X是S的子集：S-X是有限集}是S上的一个frechet滤子，并且它是非主的。

一个滤子F被称为超滤，当且仅当对于任意S的子集X而言，要么X∈F,要么S-X∈F。

同时，一个滤子F是极大的，当且仅当不存在S上滤子F1使得F是F1的子集

可以证明，极大滤子和超滤是等价的

由此，我们有了以下的引理：

lemma1 :(tarski)任何一个滤子都能被扩张为一个超滤

证明如下:我们考虑一个集合S上包含起始滤子F的全体滤子构成的偏序集A，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<F_n:n∈ord>

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是A的元素。那么，这也就是在说，任何A上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，A存在极大元U，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。