提升急矩阵

USM（Upgrading Sudden Matrix，提升急矩阵），是lilacblast在2024.12.27创造的记号。

名字来源

记号中将类似 BMS 的提升提前到 2 行，且远强于 BMS 提升，所以名字中有个“提升”。

基本定义

1.0 下标 1 起。

1.1 向量：由多个数字组成的数组。

1.2 矩阵：由多个长度相等的向量组成的数组，S 为待展开矩阵，第 y 行第 x 列的元素记作 S[x,y]。

1.3 父项：对矩阵中每个元素有个数组，第 y 行第 x 列的数组记为 fa[x,y]。

2 展开过程

2.1 确定父项数组 fa

2.1.1 设当前值为第 y 行第 x 列的数字，然后不断往前走，遇到比当前值小的数且他头顶上的数在 fa[x,y-1] 里，就把当前值赋值为所在的这个数，如果这个数 <= 当前值，就把当前的位置放到 fa[x,y] 里。对每个元素都做一遍这个过程。

2.1.2 伪代码：

t=S(x,y)
for z from x-1 to 1:

    if z in fa[x-1,y] and S[z,y]<t:
        t=S[z,y]

    if S[z,y]<=t:
        z 在 fa(x,y) 中
    else:
        z 不在 fa(x,y) 中

2.2 确定待定根集合 R

2.2.1 待定根集合 R 为最后一列非 0 数 fa[x,y]（去掉在矩阵中的值等于 S[x,y] 的元素）的交

2.3 确定提升矩阵 A（接受一个参数，当前坏根 r）

2.3.1 如果存在一个 rt 在 R 里且 >=r 且 rt 在 fa[x,y] 里，那么 A[x,y]=1，否则为 0。

2.4 确定坏根 r 与展开

2.4.1 同 BSM，但无 forced。后附 BSM 定义。

例子

0,111,21,11,221,31,22,331,41,331 倒 1 的 3 的 fa : 9,7,6,5,4,3,2,1

0,11,22,0,11,1,2,0,11,0,11,22 展开为 0,11,22,0,11,1,0,11,0,11, 21,32,43,21,32,31,41（注意这里）,21,32,21,32,...

记号行为与扽西进度

0,11,22 即 ψ(M_ω)。

0,11,22,0,11,1 之前同 PSM，相对之无提升。

0,11,22,0,11,1,0,11,0,11, 21,32,43,21,32,3,21,32,31,4, 21,32,3,3,21,32,31,21,32,3 为 ψ(Mfp)。

0,11,22,0,11,1,0,11,0,11,22 还不知道是多少，但应该远大于 SSO。