用户:Baixie01000a7/TON草稿

Taranovsky 序数记号 (Taranovsky’s ordinal notation, TON) 是 Taranovsky 提出的一系列记号的总称。

无反射配置的情况下，TON 具有如下的版本：

• 反射度：Degrees of Reflection (DR)。
• 包含通过的自下而上：Built-from-below with Passthrough (BP)。
• 包含通过的反射度：Degrees of Reflection with Passthrough (DRP)。
• 主要序数体系：Main Ordinal Notation System (M)。
• 主要序数体系（通过扩展）：Main ordinal notation system (Passthrough extension)(MP)。
• n 自下而上迭代（无 4b 版本）：Iteration of n-built from below (variation without 4b)(I)。
• n 自下而上迭代：Iteration of n-built from below (IBP)。
• n 自下而上迭代（通过扩展）：Iteration of n-built from below (Passthrough extension)(IP)。

有反射配置的情况下，TON 具有如下的版本：

• 反射配置版反射度：Reflection configuration version of Degrees of Reflection (DRC)。
• 反射配置版包含通过的反射度：Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough (DRPC)。
• 反射配置版主要序数记号体系：Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System (MC)。
• 反射配置版主要序数记号体系（通过扩展）：Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension) (MPC)。

共同定义

大多数记号都是使用两个常数和一个函数构建的。常数包括 $0$ ，以及 $\mathrm{\Omega }$ 或 ${\mathrm{\Omega }}_n$ 之一（其

中 n 是系统内的给定自然数）。函数通常用 C 表示，是二元的。

1. $0$ 或 和 $\mathrm{\Omega }$ （或 ${\mathrm{\Omega }}_n$ ）是项。
2. 如果 a 和 b 是项，则C(a,b)是项。

项可以用“>”、“<”或“=”进行比较和连接。

首先，以后缀形式写出项，即删除所有“(”、“)”和“,”，然后反转字符串。其次，按

字典序比较后缀形式，其中$C$ < $0$ < $\mathrm{\Omega }$ （或 ${\mathrm{\Omega }}_n$ 为最大单个字母）。

在体系之中，只有一部分项是标准的。

常数是标准的。

如果以下 3 项全部为真，则 是标准的。

1. a 和 b 都是标准的。
2. 如果 b = C(c, d)，则 a ≤ c。
3. 此条件在各个不同的体系之间有所不同，通常称之为“自下而上条件”。

要检查“自下而上条件”，我们需要检查 a 的语法树。在定义中：

1. 量词不是在项上，而是在 a 内的位置上，因此不同位置的相同项会得到不同的处理。
2. $x⊑y$ 表示 x 是 y 的子项（也是 $x⊒y$ ）。使用位置索引（例如，$C(C(C(C(C(\mathrm{\Omega },0),C(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Omega })),0),0)$中的三个 0 位于位置 (1, 1, 1, 2),(1, 2) 和 (2)），y 的位置索引是 x 的位置索引的初始子串。
3. x $x⊏y$ y 表示 x 是 y 的真子项（也是 y $x⊐y$ x ）。即$x\subseteq y\wedge x\ne y$。

一个标准项表示一个序数，不同的标准项表示不同的序数。序数的序关系被定义为标准项的序关系。

因此，最小标准项 0 对应于最小序数 0 。大于 b₁, b₂, · · · 的标准项 a 对应于大于 b₁, b₂, · · ·对应的序数。

这些定义并不能确保良定义，因此需要证明。目前，只有一个体系被充分证明是良定义的。

Taranovsky 记号具有如下共同的性质：

1. $C(a,b)>b$。

2. $C(a,b)$在a和b上都是单调的，在a上是连续的。

3. $C(a,b)=b+{\omega }^a$当且仅当C(a,b)≥a。

第三个性质可以帮助我们进行标准项和 Cantor 标准形式 (CNF) 之间的转换。

由于 Ω是一个“大”序数，使得ω^Ω= Ω，因此也可以在标准项和基数为 Ω 的 CNF 之间进行转换。

自下而上的条件是不同系统的不同之处。它由 3 个不同的概念组合而成：自下而上方法、通过和反射配置。自下而上方法最先引入，然后是通过，最后是反射配置。因此，这三个概念构成了 TON 的三代。