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${\mathbf{𝐋}}_a\prec {\mathbf{𝐋}}_{a+1}⟹a$ 是 ${\mathrm{\Pi }}_0^1$-反射。

理论

首先，通过在具有可数多个变量项符号和集合隶属关系符号 $\in$ 的一阶集合论语言中加入一个一元函数符号 $U$ 来定义语言 L。将 ZF_L 定义为属于 ZF 集合论公理的 L 公式集合。在这里，ZF_L 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式（即可以包含 $U$ 的公式）参数化。 通过使用显式 Gödel 对应关系将可数多个常数项符号、可数多个函数符号、可数多个关系符号和一个新的一元函数符号 \Theta 添加到 L 的显式形式化中，定义一阶逻辑的形式语言 L。然后，我们用 ZFC_L 表示属于 ZFC 集合论公理的 L-公式集合，在这里，ZFC_L 中理解和替换的公理模式由所有 L-公式参数化，即公式可以包括 $U$ 的形式化，附加常数项符号，附加函数符号，附加关系符号和 $\mathrm{\Theta }$。 我们将 ${\epsilon }_0$ 和 L-公式下面的序数显式编码为 ZF_L 中的自然数，并将 Henkin 公理“如果存在满足 $P$ 的 x，则 $\mathrm{\Theta }(n)$ 满足 $P$”的形式化，对于每个变量项符号 x，每个带有代码 n 的 L-公式 $P$ 通过重复后继运算形式化为 ZFC_L，

用 ZFCH_L 表示由 Henkin 公理模式增强的理论 ZFC_L。新的函数符号 $\mathrm{\Theta }$ 起着“Henkin 常数族”的作用。请不要混淆基本理论 ZF_L 和形式化理论 ZFCH_L。用 $U1$ 表示 L-公式“对于任何序数 $\alpha$，$U(\alpha )\models {\text{ZFCH}}_{\text{L}}$”。在 $U1$ 增强的 ZFC_L 下，$U(\alpha )$ 形成了 ZFC_L 的模型，从而形成了任何序数 $\alpha$ 的 L-结构。我们用 $U^{U(\alpha )}$ 表示 $U(\alpha )$ 中 $U$ 的解释。我们用 $U2$ 表示 L-公式“对于任何序数 $\alpha$ 和任何 $\beta \in \alpha$，$U^{U(\alpha )}=U(\beta )$”，用 $U3$ 表示 L-公式“对于任何序数 $\alpha$，存在一个序数 $\beta$ 使得 $|U(\alpha )|={\text{V}}_{\beta }$，对于任何 $x\in {\text{V}}_{\beta }$ 和任何 $y\in {\text{V}}_{\beta }$，$x{\in }^{U(\alpha )}y$ 等价于 $x\in y$”，其中 ${\text{V}}_{\beta }$ 表示 von Neumann 层次。将 T 定义为 L-公式的集合 ${\text{ZF}}_{\text{L}}\cup \{U1,U2,U3\}$。