TrSS

Tree Sequence System（v1.2）

零．前言

TrSS全称Tree Sequence System，是由树状结构启发而制作的记号。记号的表达式是一个树列，为方便呈现，将树列改写为数组列形式，本文档所述为数组列展开规则，但TrSS本身并不是矩阵。本文档中绿色小字体为注释或举例，红色字体为重要内容。

TrSS是由数组作为项组成的序列，每个数组由正整数和分隔符组成。序列的第一个数组必须为(1)。数和分隔符都有等级，对于数n+1，其等级为n。分隔符有ω种，对于i，i级分隔符为i个连续的逗号；特别的，0级分隔符为“/”。数后面的分隔符等级不能高于数的等级，否则不合法。

每个合法数组都可以被绘制为树，绘制这样的树有三种操作：①向上一步；②从原地开始向上画k个依次相连的节点；③向右一步。从数组的首项开始，每遇到一个数k就执行②一次，每遇到一个n级分隔符就执行③一次，然后执行① n次。每执行一次①或③，就要在新到达的位置和原来的位置中间画一条边。如果一个分隔符后面的数是0，那么删去0及该分隔符。

数组之间比较字典序时，将其视为(a1 分隔符 a2 分隔符……)(b1 分隔符 b2 分隔符……)的形式依次比较对应的数或分隔符，高等级分隔符>低等级分隔符。例如，(2,2,1)>(2,2/1)

符号指代范围（重要）：

i、j、k正整数 m、n 、p自然数 a_i、b_i、c_i数列的第i项 %、#、$、&任意合法表达式/数组 A、B、C 任意分隔符

TrSS的极限表达式为(1)(ω)。

作为新型记号的首次尝试，此记号可能有不完善之处，请指出并联系我修改。

油手就行

更新日志：

2025.8.18 1.0版本

2025.8.19 1.1版本

2025.8.24 1.2版本

一. 前置定义

1.子数组：

1）一个数组的-1级子数组是它本身。

2）从m=0开始，将每个数组的每个(m-1)级子数组按其中的m级分隔符分开，分开后的部分称为原数组的m级子数组。如果数组的m级子数组内仍有分隔符，那么进入3）；如果数组的m级子数组内没有分隔符，那么流程结束。（展开时用到的子数组不一定是最高等级的）

3）使m的值+1，然后回到2）。

2. 元素：数组(的子数组)的元素是其中的所有数和分隔符。

3. 末数组：表达式中最后一个数组。

4. 末项/分隔符：数组中最后一个数/分隔符。

二．展开流程

1.#(1)=#+1

2.在末数组不为(1)时：

1）将末数组的末项和末分隔符中不为0的元素等级-1。

Ⅰ.若末分隔符等级为0或数组仅有一个数而末项等级>0，则将末项等级-1。

Ⅱ.若二者等级均为0，则将二者都删去。

Ⅲ.若末分隔符等级>0，则寻找数组中最靠后的比末分隔符等级低的分隔符A，将原数组的末项和末分隔符替换为比末分隔符低一级的分隔符以及原数组的(A,倒数第二分隔符]∪{末项-1}。若找不到这样的分隔符，则视为它在数组最前面并且隐形。

Ⅳ.若数组中只有一个分隔符且末项等级为0，那么将它们删去。优先级最高

(2,1/1)根据II变为(2,1)；(2,1/2/2)根据I变为(2,1/2/1)，(2,1/2,1)根据III变为(2,1/2/2)，(3,,3,1)根据III变为(3,,3/3)，(2,2,2)根据Ⅳ变为(2,2,1/2,2)，(2,1)根据IV变为(2)

2）从n=(表达式中出现的最高等级分隔符的等级)开始，取每个数组的n级子数组。

①若经过1）变换的末数组的n级子数组在后面去掉连续的部分后与前面某数组的n级子数组在数和分隔符上都相同，那么进入3），否则进入②。如果直到n=-1都没能找到前面部分与末数组相同的数组，那么进入4）。

(2,1/2)和(2,1/2)的-1级子数组相同，和(2,1/2/2)的0级子数组部分相同

②使n的值-1并回到①。

3）今有若干数组、&的n级子数组#、#、#……#、#$，其中#不为空，且均为类似构造的数组中最靠后的：

①若$为空，那么坏根为&_i并进入④。否则进入②。

②若任意%_j在字典序上都大于$，那么坏根为并进入④。否则进入③。

③找到最大的j，使得%_j的字典序小于$，坏根为&_j并进入④。

④进入5）。

4）定义阶伸项Q为{原末数组，其中末项-1}∪{(原末数组的末项-2)级分隔符}，坏部B为[表达式第二个数组，表达式倒数第二个数组]∪{Q}，好部G为首数组(1)，展开为G+B+QB+QQB+QQQB……其中QB指在B中的每个数组前都添加一个Q。

5）定义坏部B为[坏根，表达式倒数第二个数组]，好部G为[表达式首项，坏根)，阶伸项Q为将(坏根与经过1）操作的末数组相比缺少的部分)还原为数组的结果。

Ⅰ.对于坏部中原本属于3）中提到的&_i中的数组，每次复制时将Q放在坏根的对应位置之后。此时Q的开头一定是分隔符，末尾一定是数。

Ⅱ.对于坏部中不是原本属于3）中提到的&_i中的数组，在它们前面都添加坏根的内容，中间的分隔符等级与找坏根时用到的子数组等级相同，然后在复制时将Q放在坏根的对应位置之后。

坏部为(2,1)(2,2)(2,1/2)，将(2,2)改为(2,1/2,2)，(2,1)和(2,1/2)不变。

Q=(/2/1)，坏根为(2,1)时，坏部的(2,1/2)一次复制后变为(2,1 /2/1 /2)，坏部的(2,2)变为(2,1 /2/1 /2,2)

6）无论通过4）还是5）展开的表达式，都要保证每个数组的第一个分隔符等级不为0。如果为0，那么将其改为1级分隔符。