超E记号

超 E 记号（Hyper-E Notation，简称 E# 表示法）是 Sbiis Saibian 发明的大数记号。^[1]

定义

原始的超 E 记号由一个或多个正整数参数的序列 $a_{n}$ 组成，这些参数由 # 分隔。我们将其标记为 $E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$ 。b 称为底数。如果省略它，则默认为 10。E# 的具体操作规则如下：

$E [b] x = b^{x}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n} # 1 = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # a_{n} = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # (E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # (a_{n} - 1))$

通俗的说:

如果序列只有一个参数 x，则返回 $b^{x}$
否则，如果序列末项为 1，可以直接去掉，不影响结果
否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目 x，其中 x 是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值

举例：

$E 306 # 6 = E E 306 # 5 = E E E 306 # 4 = \dots = E E E E E E 306 = E E E E E 1 0^{306} = \dots = 1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{306}}}}}}$

$E 3 # 1 # 8 # 4$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 3)$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 2))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 1)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # (E 3 # 1 # 7))))$

$= \dots$

关于它的强度，我们有如下结论：

$a ↑^{c} b = E [a] \underset{c - 1 个 1}{\underset{⏟}{1 # 1 # \dots 1 #}} b$ ^[2]

Nathan Ho 和 Wojowu 证明了超 E 记号规则的停机性。^[3]

扩展定义

扩展的超 E 记号

扩展的超 E 记号允许在每个条目之间显示多个 #。为了这个定义， $#^{n}$ 是 n 个连续的 # 的简写。例如，完整表达式将写成 $E [b] a_{1} #^{n_{1}} a_{2} #^{n_{2}} \dots #^{n_{i - 1}} a_{i}$ ，其中 $a_{i}, n_{i}$ 都是自然数。

以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。

$E [b] x = b^{x}$
末项是 1 的情况下， $E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i} #^{n_{i}} 1 = E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i}$
如果 $n_{i - 1} > 1$ ， $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} - 1$
否则， $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} (E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # (a_{i} - 1))$

通俗的说，序列只有一个参数、末项是 1、末项之前是单独的 # 的情况，和原超 E 记号是相同的。只有末项之前是多于 1 个 # 的情况下， $a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = \underset{n 个 a_{i - 1}}{\underset{⏟}{a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1 - 1}} \dots a_{i - 1}}}$ .

举例：

$E 5 #^{2} 2 #^{3} 3$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 #^{2} 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 1)$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2)$

=……

它的极限 FGH 增长率是 $ω^{ω}$ 。

级联 E 记号

以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切 $E n #^{m} n$ 的记号。实际我们选取的是如下记号： $E a #^{#} n = E a #^{n} n$ 。这一做法实际上是收到了 FGH 中 ω 的启发。

一般的，我们允许级联 E 记号中出现形如 $#^{X_{1}} \times #^{X_{2}} \times \dots #^{X_{n - 1}} \times #^{X_{n}}$ 的超分隔符，其中的 $X_{n}$ 为正整数，或者为一个合法的超分隔符，可以类比康托范式。级联 E 记号的合法表达式为 $E [a] a_{1} &_{1} a_{2} &_{2} \dots a_{n} &_{n}$ ，其中 $a_{i}$ 是正整数， $&_{i}$ 是合法的超分隔符。下面我们给出级联 E 记号的递归定义：

令 $&_{k}$ 为第 k 个超分隔符，以及 $L (&_{k})$ 为第 k 个超分隔符最右端的 $#^{n}$ ，% 为合法表达式。

$E [a] b = a^{b}$
如果 $L (&_{n - 1}) \neq #^{n}$ ，则 $E [a] b % X #^{X #^{n}} % c = E [a] b % X #^{(X #^{n - 1})^{b}} % b$
$E % a #^{n} 1 = E % a$
如果 $L (&_{n - 1}) = #^{n}$ 且 $&_{k} \neq #$ ，则 $E % a X #^{n} b = E % a X #^{n - 1} a X #^{n} (b - 1)$
$E % a # b = E % (E % a # (b - 1))$

我们有如下的展开示例：

$E 10 #^{#} 3 = E # # # 3$

$E 10 #^{#} 10 #^{#} 3 = E 10 #^{#} 10 # # # 10$

$E 10 #^{#^{#}} 16 = E 10 #^{#^{16}} 10$

等等。级联 E 记号的极限 $E a \underset{n 个 #}{\underset{⏟}{#^{#^{#^{\dots}}}}} n$ 的 FGH 增长率是 $ε_{0}$ 。

参考资料

↑ Large Numbers. 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite. (EB/OL), Large Numbers. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray
↑ Kyodaisuu (2021). Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation. (EB/OL), Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation
↑ Snappizz. Termination. (EB/OL), Snappizz. https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination

[1] Large Numbers. 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite. (EB/OL), Large Numbers. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray

[2] Kyodaisuu (2021). Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation. (EB/OL), Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation

[3] Snappizz. Termination. (EB/OL), Snappizz. https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination

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