不动点

在数学中，函数的不动点（fixed point,fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。

例子

在googology中，我们一般只关心$\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}$的连续递增函数以及$\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{\to }\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{x}$)，因而只有后者的不动点是重要的。

如$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{x}$

注意到当$\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{\omega }$时，$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{\omega }\mathrm{=}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{\{}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{0},\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{1},\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{2},\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{3},\mathrm{\cdots }\mathrm{\}}\mathrm{=}\mathrm{\omega }$。因此$\omega$是$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{x}$的不动点。

又如$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{x}$

当$\mathrm{x}\mathrm{=}{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\omega }}$时，$\mathrm{f}\mathrm{(}{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{\omega }}$，因此${\omega }^{\omega }$是$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{x}$的不动点。

注意

1. 并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f(x)=x+1,就不存在不动点。
2. 在googology中，我们一般把f(α)的不动点写作α→f(α)不动点。
3. 一个序数函数可以不只存在一个不动点。如${\omega }^{\omega }\times m$是$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{x}$的第m个不动点。

不动点与基本列

$\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{\to }\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$的连续递增函数f(x)$f(x)$且满足f(x)≥x$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{\ge }\mathrm{x}$，存在这样一个定理：

如果X是其第m个不动点，则$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{\{}\mathrm{X}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{.}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{X}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)},\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{X}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{)},\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{X}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{)}\mathrm{)},\mathrm{\cdots }\mathrm{\}}$是其第m+1个不动点

注意到这实际上提供了一种基本列选取的方法。实际上，著名的序数表示法φ函数的强度就高度依赖于不动点.