序数

序数是自然数的推广。

定义

一个序数 $α$ 被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即 $α = {β | β < α}$ 。

$0 = \emptyset = {}$

$1 = {0}$

$2 = {0, 1}$

$3 = {0, 1, 2}$

$1048576 = {0, 1, 2, 3, . . ., 1048575}$

序数的后继

序数 $α$ 的后继被定义为 $α + 1 = α \cup {α}$ 。它也是所有序数运算的基础。

如 $2 + 1 = 2 \cup {2} = {0, 1} \cup {2} = {0, 1, 2} = 3$ ， $n + 1 = n \cup {n} = {0, 1, 2, 3, . . ., n}$ 。

有限序数与超限序数

所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作超限序数(或无限序数)

极限序数

不是 $0$ 且不是任何序数的后继的序数被称为极限序数。（ $0$ 有时也被视为极限序数）

即序数 $λ$ 是极限序数要满足“不存在某个序数 $α$ 使得 $λ = α + 1$ ”。

如果 $λ$ 是极限序数，那么 $λ = s u p {α | α < λ}$ 。(" $s u p$ "为"上确界"，一般可以省略不写)

$ω$ 被定义为全体自然数的集合， $ω = ℕ = {0, 1, 2, 3, . . .}$ 既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。

序数的运算

1.序数加法

$α + 0 = α$

$α + (β + 1) = (α + β) + 1$

$α + β = ⋃_{γ < β} (α + γ)$ ，如果 $β$ 是极限序数。

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

$α + β \neq β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ)$

例： $1 + ω = ⋃_{γ < ω} (1 + γ) = {1 + 0, 1 + 1, 1 + 2, . . .} = s u p {1, 2, 3, . . .} = ω \neq ω + 1$

2.序数乘法

$α \times 0 = 0$

$α \times (β + 1) = (α \times β) + α$

$α \times β = ⋃_{γ < β} (α \times γ)$ ，如果 $β$ 是极限序数。

序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即

$1 . α \times β \neq β \times α, (α \times β) \times γ = α \times (β \times γ)$

$2 . (α + β) \times γ \neq (α \times γ) + (β \times γ), α \times (β + γ) = (α \times β) + (α \times γ)$

例： $\begin{aligned} (ω + 1) \times ω & = ⋃_{γ < ω} ((ω + 1) \times γ) \\ = {(ω + 1) \times 0, (ω + 1) \times 1, (ω + 1) \times 2, . . .} \\ = {0, ω + 1, ω + (1 + ω) + 1, ω + (1 + ω) + (1 + ω) + 1, . . .} \\ = s u p {0, ω + 1, ω \times 2 + 1, ω \times 3 + 1, . . .} = ω^{2} \\ \neq ω \times (ω + 1) = ω^{2} + ω \end{aligned}$