序数

序数是自然数的推广。

定义

一个序数$\alpha$被定义为所有比它“更小”的序数的集合，即$\alpha =\{\beta |\beta <\alpha \}$。

$0=\varnothing =\{\}$

$1=\{0\}$

$2=\{0,1\}$

$3=\{0,1,2\}$

$1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}$

序数的后继

序数$\alpha$的后继被定义为$\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}$。它也是所有序数运算的基础。

如$2+1=2\cup \{2\}=\{0,1\}\cup \{2\}=\{0,1,2\}=3$，$n+1=n\cup \{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}$。

有限序数与超限序数

所有自然数都是有限序数。

大于有限序数的序数称作超限序数(或无限序数)

极限序数

不是 $0$且不是任何序数的后继的序数被称为极限序数。（$0$有时也被视为极限序数）