赋权二叉树

赋权二叉树（Weighted Binary Tree）是FataliS1024提出的大数函数。

定义

对于有根二叉树，令其每条边都有一个正整数权值，即得到赋权二叉树，记作wb

对于两个wb A和B，如果A能通过以下操作得到B，就称B嵌入A，A容纳B，A大于B，B小于A：

删掉一个度为1的顶点和它连接的边
删掉一个度为2的非根顶点和它连接的两条边，并将它原本连接的两个顶点连起来，权值等于min(原来两条边的权值)
将任意一个大于1的权值-1

符合以下条件的最长的有序wb列的长度记作wbtree(n)：

第k个wb最多有k+1个顶点
所有wb的边权值不超过n
前面的wb不小于后面的wb

分析

用()表示权值1的边与它的子节点（远离根的一端）。用[]表示权值2。{}表示权值3.根节点不写

以下提供了wbtree中的一个序型分析

单根=0
() = 1
(()) = 2
()() = ω

上述这些都跟ε(0)以下的tree相同

[] = ε(0)
([]) = ε(0)+1
(([])) = ε(0)+2
([])() = ε(0)+ω
([])([]) = ε(0)·2
(([]))([]) = ε(0)·3
(([])())([]) = ε(0)·ω
(([])([]))([]) = ε(0)^2
(([]))(([])) = ε(0)^ω
(([])([]))(([])([])) = ε(0)^ε(0)
[]() = ε(1)
[](()) = ε(2)
[](()()) = ε(ω)
[]([]) = ε(ε(0))
[]([]([])) = ε(ε(ε(0)))
[()] = ζ(0)
([()]) = ζ(0)+1
([()])([()]) = ζ(0)·2
[]([()]) = ε(ζ(0)+1)
[](([()])) = ε(ζ(0)+2)
[]([]([()])) = ε(ε(ζ(0)+1))
[()]() = ζ(1)
[()]([()]) = ζ(ζ(0))
[(())] = ϑ(Ω·3) = φ(3,0)
[]([(())]) = ϑ(Ω+ϑ(Ω·3))
[()]([(())]) = ϑ(Ω·2+ϑ(Ω·3))
[(())]() = ϑ(Ω·3+1)
[((()))] = ϑ(Ω·4)
[()()] = ϑ(Ω·ω)
[(()())] = ϑ(Ω·(ω+1))
[(()())(()())] = ϑ(Ω·ω^ω^ω)
[([])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω))
[([])]() = ϑ(Ω·ϑ(Ω)+1)
[(([]))] = ϑ(Ω·(ϑ(Ω)+1))
[([])([])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω)·2)
[([]())] = ϑ(Ω·ϑ(Ω+1))
[([()])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω·2))
[([([])])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω·ϑ(Ω)))
[[]] = ϑ(Ω^2) = Γ(0)
[]([[]]) = ϑ(Ω+ϑ(Ω^2))
[()]([[]]) = ϑ(Ω·2+ϑ(Ω^2))
[([[]])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω^2))
[([([[]])])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω·ϑ(Ω^2)))
[[]]() = ϑ(Ω^2+1)
[[]]([[]]) = ϑ(Ω^2+ϑ(Ω^2))
[[]()] = ϑ(Ω^2+Ω)
[[]([[]])] = ϑ(Ω^2+Ω·ϑ(Ω^2))
[[()]]= ϑ(Ω^2·2)
[[([[]])]] = ϑ(Ω^2·ϑ(Ω^2))
[[[]]] = ϑ(Ω^3)
[[[]]]() = ϑ(Ω^3+1)
[[[]]()] = ϑ(Ω^3+Ω)
[[[]()]] = ϑ(Ω^3+Ω^2)
[[[()]]] = ϑ(Ω^3·2)
[[[[]]]] = ϑ(Ω^4)
[][] = ϑ(Ω^ω)
([][]) = ϑ(Ω^ω)+1
[]([][]) = ϑ(Ω+ϑ(Ω^ω))
[([][])] = ϑ(Ω·ϑ(Ω^ω))
[[([][])]] = ϑ(Ω^2·ϑ(Ω^ω))
[[][]] = ϑ(Ω^ω+1)
[[][]]() = ϑ(Ω^ω+2)
[[][]]([][]) = ϑ(Ω^ω+ϑ(Ω^ω))
[[[][]]] = ϑ(Ω^ω+Ω)
[[[][]]]() = ϑ(Ω^ω+Ω+1)
[[[][]]()] = ϑ(Ω^ω+Ω·2)
[[[[][]]]] = ϑ(Ω^ω+Ω^2)
[[[[[][]]]]] = ϑ(Ω^ω+Ω^3)
[()][] = ϑ(Ω^ω·2)
[[()][]] = ϑ(Ω^ω·2+1)
[[[()][]]] = ϑ(Ω^ω·2+Ω)
[[[[()][]]]] = ϑ(Ω^ω·2+Ω^2)
[(())][] = ϑ(Ω^ω·3)
[([][])][] = ϑ(Ω^ω·ϑ(Ω^ω))
[[]][] = ϑ(Ω^(ω+1))
[[[]]][] = ϑ(Ω^(ω+2))
[[][]][] = ϑ(Ω^(ω·2))
[[[][]][]] = ϑ(Ω^(ω·2)+1)
[[[[][]][]]] = ϑ(Ω^(ω·2)+Ω)
[[[][]]][] = ϑ(Ω^(ω·2)+Ω^ω)
[[[][]]()][] = ϑ(Ω^(ω·2)+Ω^ω·2)
[[[[][]]]][] = ϑ(Ω^(ω·2)+Ω^(ω+1))
[[()][]][] = ϑ(Ω^(ω·2)·2)
[[[]][]][] = ϑ(Ω^(ω·2+1))
[[[][]][]][] = ϑ(Ω^(ω·3))
[[[[][]][]][]][] = ϑ(Ω^(ω·4))
[()][()] = ϑ(Ω^ω^2)
[[()][()]] = ϑ(Ω^ω^2+1)
[[[()][()]][]] = ϑ(Ω^ω^2+Ω^ω)
[(())][()] = ϑ(Ω^ω^2·2)
[[]][()] = ϑ(Ω^(ω^2+1))
[[()][()]][()] = ϑ(Ω^(ω^2·2))
[(())][(())] = ϑ(Ω^ω^3)
[([])][([])] = ϑ(Ω^ϑ(Ω))
[[]][[]] = ϑ(Ω^Ω) = LVO

看上去[]可以作为Ω的角色了，这样只使用权重1~2就能达到至少BHO的序型

ψ(Ω₂)={}
ψ(Ω₂+Ω)=[{}]
ψ(Ω₂+Ω^Ω^ω)=[{}][]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂))=[{}][{}]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂)+Ω)=[{}][[{}]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂)×2)=[{}][[{}][{}]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂)×3)=[{}][[{}][[{}][{}]]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+1))=[[{}]][[{}]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+2))=[[[{}]]][[[{}]]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ω))=[[{}]()][[{}]()]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+Ω))=[[{}][]][[{}][]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ψ₁(Ω₂)))=[[{}][{}]][[{}][{}]]
ψ(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ψ₁(Ω₂+ψ₁(Ω₂))))=[[[{}][{}]][[{}][{}]]][[[{}][{}]][[{}][{}]]]
ψ(Ω₂×2)={}()
ψ(Ω₂×ω)={}(()())
ψ(Ω₂×Ω)={}[]
ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂))={}[{}]
ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×ψ₁(Ω₂)))={}[{}[{}]]
ψ(Ω₂²)={()}
ψ(Ω₂^ω)={()()}
ψ(Ω₂^Ω)={[]}
ψ(Ω₂^Ω₂)={{}}
ψ(Ω₂^Ω₂³)={{{{}}}}
ψ(Ω₂^Ω₂^ω)={}{}
ψ(Ω₂^Ω₂^Ω)={[]}{[]}
ψ(Ω₂^Ω₂^Ω₂)={{}}{{}}
ψ(Ω₂^Ω₂^Ω₂^ω)={{}{}}{{}{}}

于是得到ψ(Ω_ω)=极限