BAN

Bird 数组表示法（Bird's Array Notation,BAN）是由 Chris Bird 发明的一种大数记号。它是 BEAF 的扩展，无论是在历史上还是在定义上都类似于 BEAF，但与 BEAF 略有不同，使其更加“简单”。

定义

“简单”数阵

线性和多维数阵

• 规则 1. 若有一或两个元素，则有 $\{a\}=a,\{a,b\}=a^b$
• 规则 2. 若最后一个元素为 1，则可将其去掉：$\{\mathrm{\#}1\}=\{\mathrm{\#}\}$
• 规则 3. 若第二个元素为 1，则该数阵的值即为第一个元素：$\{a,1\mathrm{\#}\}=a$
• 规则 4. 若第三个元素为 1：

$\{a,b,1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}\}=\{a,a,a,a,\cdots ,a,\{a,b-1,1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

• 规则 5. 其他情况：

$\{a,b,c\mathrm{\#}\}=\{a,\{a,b-1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

对于多维数阵，Bird 使用 $a⟨c⟩b$，它与 BEAF 的 $b^c\mathrm{\&}a$ 等价。这些字符串写在引号内，且有其特定的规则：

• 规则 A1. 若 $c=0$，则有 $a⟨0⟩b=a$
• 规则 A2. 若 $b=1$，则有 $a⟨c⟩1=a$
• 规则 A3. 其他情况，$a⟨c⟩b=a⟨c-1⟩b[c]a⟨c⟩(b-1)$

主要规则如下：

• 规则 M1. 若只有两个元素，则 $\{a,b\}=a^b$
• 规则 M2. 若 $m<n$，则有 $\{\mathrm{\#}[m]1[n]\mathrm{\#}*\}=\{\mathrm{\#}[n]\mathrm{\#}*\}$（另外，$\{\mathrm{\#}[a]1\}=\{\mathrm{\#}\}$）
• 规则 M3. 若第二个元素为 1，则有 $\{a,1\mathrm{\#}\}=a$
• 规则 M4. 若 $m_1\ge 2$ 且 $m_1\ge \cdots \ge m_x$，则有

$\{a,b[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]c\mathrm{\#}\}=\{a⟨m_1-1⟩b[m_1]a⟨m_2-1⟩b[m_2]\cdots a⟨m_x-1⟩b[m_x](c-1)\mathrm{\#}\}$

• 规则 M5. 若 $m_1\ge \cdots \ge m_x\ge 2$，则有

$\{a,b[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]1,c\mathrm{\#}\}=\{a⟨m_1-1⟩b[m_1]a⟨m_2-1⟩b[m_2]\cdots a⟨m_x-1⟩b[m_x]\{a,b-1[m_1]1[m_2]\cdots 1[m_x]1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

• 规则 M6. 若规则 M1-M5 均不适用，则 $\{a,b,c\mathrm{\#}\}=\{a,\{a,b-1,c\mathrm{\#}\},c-1\mathrm{\#}\}$

Bird 使用 $[m]$ 作为维度分隔符；在 BEAF 中，它相当于一个 $(m-1)$。

超维及嵌套数阵

接下来，括号分隔符变为数阵（如 $[1,1,2]$）。除将 $[m_n]$ 替换为 $[m_n\mathrm{\#}]$ 外，规则 M1 至 M6 保持不变。

尖括号规则需要一些修改。规则 A3 变为 A4，并新增规则 A3：

• 规则 A3. 若尖括号中的第一个元素为零，且其后存在非零元素：

$a⟨0,1,1,\cdots ,1,1,c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b,b,b,\cdots ,b,b,c-1\mathrm{\#}⟩b$

此规则在视觉上与规则 M4 相似。

下一步是允许在数阵内出现字符串，从而定义嵌套数阵表示法。规则 A3 变为 A4，规则 A4 变为 A5。然后我们新增一条 A3 规则并对 A4 进行推广：

• 规则 A3. 若 $[A]<[B]$，则有 $a⟨\mathrm{\#}[A]1[B]{\mathrm{\#}}^{*}⟩b=a⟨\mathrm{\#}[B]{\mathrm{\#}}^{*}⟩b$
• 规则 A4. 若尖括号中的第一个元素为零，且其后存在非零元素：

$a⟨0[x_1{\mathrm{\#}}_1]1[x_2{\mathrm{\#}}_2]\cdots 1[x_n{\mathrm{\#}}_n]c\mathrm{\#}⟩b=a⟨b⟨x_1-1{\mathrm{\#}}_1⟩b[x_1{\mathrm{\#}}_1]b⟨x_2-1{\mathrm{\#}}_2⟩b[x_2{\mathrm{\#}}_2]\cdots b⟨x_n-1{\mathrm{\#}}_n⟩b[x_n{\mathrm{\#}}_n]c-1\mathrm{\#}⟩b$

A_n 和 B 为数阵，且除第一个元素减一外，A_i-1 与 A_i 完全相同。

两个分隔符的排序算法

对于规则 A3 和 M2，确定哪个分隔符的层级更高十分重要。首先，将相互嵌套的数阵数量定义为数阵的嵌套层级。我们可以用 Lev(A) 表示。例如，若 A = {3,3[1[1[2]2]2]2}，则 Lev(A) = 3，因为 [2] 嵌套在 [1[2]2] 中，而[1[2]2]又嵌套在 [1[1[2]2]2] 中，最后 [1[1[2]2]2] 嵌套在主数阵中。非正式地说，Lev(A) 是我们需要说“嵌套”的次数，才能从最内层数阵说到主数阵。另一个函数 Num(H,A) 定义为数阵 A 中分隔符 [H] 的数量，例如，若 A = {3,3[1[2]1[2]1[2]2]2}，则 Num(2,A) = 3。

假设我们想要确定哪个分隔符的层级更高，[A] 还是 [B]。正式描述如下：

1. 为进一步说明，设 [A₁]=[A]，[A₂]=[A₁]，[B₁]=[B]，[B₂]=[B₁]。
2. 若 Lev(A)>Lev(B)，则得出 [A]>[B]；若 Lev(A)<Lev(B)，则 [A]<[B]。若 Lev(A)=Lev(B)>0，则进入步骤 3，否则进入步骤 6。
3. 设 [A^*] 和 [B^*] 分别为数阵 A₂ 和 B₂ 中的最高层级分隔符。若 [A^*]>[B^*]，则 [A]>[B]；若 [A^*]<[B^*]，则 [A]<[B]；否则取 [H]=[A^*]=[B^*] 并进入步骤 4。
4. 若 Num(H,A₂)>Num(H,B₂)，则 [A]>[B]；若 Num(A)>Num(B)，若 Num(H,A₂)<Num(H,B₂)，则 [A]<[B]；否则进入步骤 5。
5. 在字符串 A₂ 和 B₂ 中，删除 [H] 分隔符并移除其之前的所有元素。
6. 根据上述所有规则，字符串 A₂ 和 B₂ 必须为 [a] 和 [b] 的形式，其中 a 和 b 为单个数字。因此，若 a<b，则 [A]<[B]；若 a>b，则 [A]>[B]；否则进入步骤 7。
7. 在字符串 A₁ 和 B₁ 中删除最后一个元素及其前的分隔符。若 A₁ 和 B₁ 为空，则得出 [A]=[B]；否则返回步骤 2。